小6算数「分数と整数のかけ算・わり算」指導アイデア

特集
【文部科学省教科調査官監修】1人1台端末時代の教科指導ヒントとアイデア
小六算数タイトル「分数と整数のかけ算・わり算」

執筆/新潟県新潟市立万代長嶺小学校教諭・清野佳子
監修/文部科学省教科調査官・笠井健一
 新潟県新潟市立新津第一小学校校長・間嶋 哲

単元の展開

第1時(本時)(分数)×(整数)の意味と計算のしかたを考える。 
 
第2時
 (帯分数)×(整数)の計算のしかたを考える。

第3時 (分数)÷(整数)の意味と計算のしかたを考える。

第4時 (分数)÷(整数)の計算のしかたをまとめ、計算する。

第5時 (分数)÷(整数)の計算について、途中で約分するよさを検討する。

第6時 (帯分数)÷(整数)の計算のしかたを考える。

第7時 (分数)×(整数)と(分数)÷(整数)の計算のしかたをまとめる。

第8時 (分数)×(整数)と(分数)÷(整数)の計算を確かめる。

本時のねらい

1缶で[MATH]\(\frac{4}{7}\)[/MATH]㎡塗ることができるペンキ2缶分で塗れる広さについて、乗法や分数の意味に基づいたり、図を用いて表したりすることを通して、(分数)×(整数)では分子に乗数をかければよいことを説明している。

評価規準

(分数)×(整数)の計算のしかたについて、言葉や図で表すことができる。



みくさんたちは工作で使うペンキを買いに来ました。ぬる広さは1㎡なのですが、1かんでは足りないようなので、2かん買おうと考えています。

ポイント

1m×1mの実物大の正方形を提示して、塗る広さのイメージをもたせます。さらに、提示した正方形を基に、1㎡の図のかき方を導入しておきます。そして、被乗数が小数の場合を基に、被乗数が分数の場合にも乗法を用いることができることを把握させましょう。

1缶で0.4㎡を塗れるペンキがあります。

じゃあ、2缶買うから0.4×2=0.8で0.8㎡だ。

2缶買っても1㎡には足りないね。

0.4㎡は、1㎡の半分までいかないから2缶買っても足りないよね。

ほかに、1缶で [MATH]\(\frac{4}{7}\)[/MATH]㎡を塗れるペンキがあります。このペンキなら、なん㎡塗れるでしょうか。

[MATH]\(\frac{4}{7}\)[/MATH]㎡なら1㎡の半分を超えているよね。だから2缶買えば足りるはずだよ。

1缶で0.4㎡を塗れるペンキが2缶のときは0.4×2だったから、今度は[MATH]\(\frac{4}{7}\)[/MATH]×2でいいんだよね。

小数のとき、「1缶で塗れる広さ×買う数」にしたから、今は[MATH]\(\frac{4}{7}\)[/MATH]×2でいいと思う。だけど、なん㎡塗れるのかな。



[MATH]\(\frac{4}{7}\)[/MATH]×2は、どのように計算すればいいのかな。

見通し

図を使って考えれば説明できそうだよ。

たし算に直して考えれば説明できそうだよ。

0.4×2を0.1で見ると、4×2と説明できたことと同じように考えてみよう。

自力解決の様子

A つまずいている子

(1㎡の図を用いて考えている)
[MATH]\(\frac{4}{7}\)[/MATH]×2だから、[MATH]\(\frac{4}{7}\)[/MATH]㎡を2個かいてみよう。


B 素朴に解いている子

(同数累加で考えている)
[MATH]\(\frac{4}{7}\)[/MATH]×2だから、[MATH]\(\frac{4}{7}\)[/MATH]を2回足してみよう。


C ねらい通り解いている子

(単位分数で考えている)
[MATH]\(\frac{4}{7}\)[/MATH]は[MATH]\(\frac{1}{7}\)[/MATH]でみるといくつになるかで考えてみよう。

学び合いの計画

Aの子のなかには、「[MATH]\(\frac{8}{14}\)[/MATH]㎡」と考える子供がいると予想されます。このような子供がいたら、分数の意味を学び直させるチャンスです。

Bの子のように加法で求めた子の考えとAの子の図を対応させることで、「どこを1としているか」を確認したり、分子部分を移動させて帯分数で積を求めたりすることができます。

さらに、Cの子の説明を加えて検討することで、「1㎡を『1』としていること」が理解されるとともに、分子部分に乗数をかけて求められることを確認できます。

分数の表し方については学習済みですが、「どこを1として表しているか」については十分に理解されないままになっている実態があります。必要に応じて、いくつか場面を提示して、分数の表し方を確認しましょう。

ノート例

ノート例

全体発表とそれぞれの考えの関連付け

アの考え

[MATH]\(\frac{4}{7}\)[/MATH]㎡を2個かいたら、[MATH]\(\frac{8}{14}\)[/MATH]㎡になったよ。

図1

イの答え

[MATH]\(\frac{4}{7}\)[/MATH]×2は[MATH]\(\frac{4}{7}\)[/MATH]+[MATH]\(\frac{4}{7}\)[/MATH]と同じだから、[MATH]\(\frac{4}{7}\)[/MATH]+[MATH]\(\frac{4}{7}\)[/MATH]=[MATH]\(\frac{8}{7}\)[/MATH]
答え [MATH]\(\frac{8}{7}\)[/MATH]㎡


ウの考え

赤の部分が[MATH]\(\frac{1}{7}\)[/MATH]㎡。[MATH]\(\frac{4}{7}\)[/MATH]㎡は[MATH]\(\frac{1}{7}\)[/MATH]㎡が4つあって、それが2個分だから4×2=8。[MATH]\(\frac{1}{7}\)[/MATH]㎡が8つだから[MATH]\(\frac{8}{7}\)[/MATH]㎡。

図2

アの図を見ると、確かに[MATH]\(\frac{8}{14}\)[/MATH] ㎡だよね。[MATH]\(\frac{4}{7}\)[/MATH]㎡は1㎡の半分を超えているから、2缶で1㎡は超えると思ったのに……。

でも、[MATH]\(\frac{8}{14}\)[/MATH]㎡は約分すると[MATH]\(\frac{4}{7}\)[/MATH]㎡だよ。[MATH]\(\frac{4}{7}\)[/MATH]×2をしたのに、1缶分しか塗れないのはおかしいよ。

赤線で囲んだ部分を隣に移すと、1[MATH]\(\frac{1}{7}\)[/MATH]㎡になるよ。仮分数に直すと[MATH]\(\frac{8}{7}\)[/MATH]だから、やっぱり[MATH]\(\frac{8}{7}\)[/MATH]㎡じゃないのかな。

図3

図で、赤の部分は[MATH]\(\frac{1}{7}\)[/MATH]㎡だよ。2缶のときは、[MATH]\(\frac{4}{7}\)[/MATH]㎡が2個になるけれど、赤の部分は[MATH]\(\frac{1}{7}\)[/MATH]㎡で変わらないよ。

図4

そうか。1つ目の1㎡を7等分しているから[MATH]\(\frac{1}{7}\)[/MATH]㎡が4つで[MATH]\(\frac{4}{7}\)[/MATH]㎡。それが2個分になっても、1㎡を7等分していることは変わらないよね。

1缶だと[MATH]\(\frac{1}{7}\)[/MATH]㎡が4つ塗れて、2缶だと[MATH]\(\frac{1}{7}\)[/MATH]㎡が4×2=8塗れるね。

分かったことを式にすると、下のようになりますね。
[MATH]\(\frac{4}{7}\)[/MATH]×2= [MATH]\(\frac{4×2}{7}\)[/MATH]= [MATH]\(\frac{8}{7}\)[/MATH]



分母は変えず、分子にかける。

評価問題

1缶で [MATH]\(\frac{2}{5}\)[/MATH]㎡がぬれるペンキを3かん買ったとき、 [MATH]\(\frac{2}{5}\)[/MATH]×3= [MATH]\(\frac{6}{5}\)[/MATH]と計算し、 [MATH]\(\frac{6}{5}\)[/MATH]㎡ぬれると分かります。なぜ、このように計算できるかを言葉や図で説明しましょう。

子供に期待する解答の具体例

図の赤の部分は [MATH]\(\frac{1}{5}\)[/MATH]㎡。今は [MATH]\(\frac{1}{5}\)[/MATH]㎡が2つが3個分だから、 [MATH]\(\frac{1}{5}\)[/MATH]㎡が2×3=6で [MATH]\(\frac{6}{5}\)[/MATH]㎡。

図5

本時の評価規準を達成した子供の具体の姿

分母は「5」のままで、「(分子)×(乗数)(=2×3)」をする意味を言葉や図で記述することができる。

感想

かけられる数が分数の場合でも、小数のときと同じようにかけ算の式にできることが分かりました。そして、分数に整数をかけるときは、分母にはかけません。分母にもかけてしまうと、「1をなん等分しているか」が変わったことになってしまいます。増えるのは分子のほうだから、分子に整数をかけます。

1人1台端末活用ポイント

本時のように、計算のしかたを考える際には、子供は式や図を用いて多様に考えていくことが予想されます。それらの考えを比較・検討させる際に、ロイロノートなどでノートを写真に撮らせて集約することがお勧めです。子供たちは互いの考えをタブレット上で自由に見ることができ、考えを分類したり、関連付けたりして考えを深めていきます。

同時に、全員で考えを深めるためには、子供の発言内容が可視化されることが必要です。タブレット上で確認するだけではなく、教師が図や式、子供の発言内容を整理して板書し、多様な考えから生み出される学びを子供が自覚できるようにしましょう。

イラスト/横井智美

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