数学者・加藤文元さんインタビュー：小学校段階の算数で育むべき「地に足ついた」感覚の力とは？
小学校の算数教育において、育むべき力とは何でしょうか？ 「計算を早く正確に解くこと」以上に重要なものとは？ 第一線の数学者として研究を続けながら、一般対象に数学の魅力を伝えているブンゲン先生こと加藤文元氏に、幼少期の体験から、音楽と数学の意外な共通点、さらには小学校段階における算数学習の本質と、これからのAI時代における期待まで、幅広く伺いました。子供がつまずきやすい算数を「感覚的な学問」として捉え直し、これからの学びのあり方を考える、スペシャル・インタビューです。
加藤文元（かとう ふみはる）
ZEN大学知能情報社会学部教授、東京工業大学名誉教授。1968年宮城県仙台市生まれ。専門の代数幾何学・数論幾何学で国際的な業績を残す一方で、難解な数学を一般向けにわかりやすく紐解く「数学の啓蒙書」を数多く執筆している。著書に『宇宙と宇宙をつなぐ数学 IUT理論の衝撃』『ガロア 天才数学者の生涯』『物語 数学の歴史 正しさへの挑戦』『はじめての圏論 ブンゲン先生の現代数学入門』などがある。
目次
小学校の算数授業での思い出
――まずは加藤先生ご自身のお話から伺いたいと思います。子供の頃、算数や数学の面白さを最初に感じられたのは、いつどういうきっかけだったのでしょうか。
加藤文元（以下、加藤）：私が数学で身を立てようというか、数学を仕事にしようと思ったのは大学４年生くらいだったのですが、いつから算数や数学が好きになったのかというのは、実は自分でもよく分からないのです。私自身、おそらく物心ついた頃から算数や数学は得意だったんじゃないかなと思うんですよね。自分でも得意という意識があったというか、算数や数学で「分からない」と思った記憶が、あまりないのです。
だから逆に言うと、とくに「面白い」とも感じていなかった可能性があるわけです。とにかく小学校でも中学校でも、教わることというのはすべて「ああ、そういうものか」みたいな感じで、すぐだいたい分かっちゃった。算数も数学も得意だったけれど、面白いとか、何か特別な思いというのも感じなかった。そういう子だったと思うのです。
ただ、今でもよく覚えていることがあります。それは小学校の５年生か６年生のときですね。なにかの文章題だったと思うのですけれど、掛け算、割り算、足し算などを複雑に駆使して答えを出すタイプの問題で、そんなに簡単な問題ではなかったと思うのですが、それを私はささっと解いて、答えも合っていたのです。計算過程も間違っていない。だけど先生にとっては、すごく遠回りな思考をしているように見えたのだと思うのですね。
それで先生は私に、「なんでこんな解き方したの？」ということを聞いてきたのです。私は「こうやって、こうやって考えて」と、解き方を説明しました。今から思うと、おそらく私は割り算があまり好きじゃなかったので、全部分数にしちゃって、掛け算にして解いていたのだと思うのですね。それで少し先生に自分の解き方を説明したら、先生は「なるほどよく分かった。でも、この問題の場合はこうやってこうすれば、もっと簡単にできるよ」と教えてくれたのですね。
だからといって、当時の私は、なにしろ全然素直じゃない子だったので（笑）、その先生の言う通りにやればもっと早くできるから、今後はそっちを使っていこうとは全然思わなかったんだけれど、自分の解き方を説明して先生が分かってくれたということ、「あ、だったらいいよ」と言ってマルをしてくれたこと、「これじゃあダメだ」とは言われなかったということは、今でもよく覚えているんですよね。
――自分の出した解き方を、先生が認めてくれた、それがうれしかったということが、印象に残っているのでしょうか。
加藤：うれしかったのかどうかは分からないけれど、そうやって今でも覚えているということは、やっぱり強く印象に残っているのですよね。「ああ、分かってくれてよかったな」という、そういうことだったと思うのですけれどね。
――家でちょっと難しい問題を解いていたりしたのですか？
加藤：そうですね。母親が時々、ちょっと背伸びするような問題集とかを買ってきてやらせていたのだと思います。それはよく記憶していて、例えば円の面積の公式とかも小学校３年生くらいでは知っていたのだと思いますね。「3.14」という数も確か３年生か２年生くらいで知っていたし。小学校３年生くらいで円周率を30桁くらいは覚えていましたしね。
――算数から中学校で数学になったときも、つまずくこともなく？
加藤：とくに問題なかったですね。確かに少し抽象的になったんだろうなと最初は少し身構えるわけですけれど、不連続面があったという感じはとくに無かったと思います。やればできちゃったという感じですね。だからそっから先、もうちょっと自分で才能を伸ばそうとすればいいのに、私は結局そうしないで、陸上部にばっかり没頭していたから（笑）。
――陸上部に（笑）。ピアノも幼い頃から弾かれていたそうですが、勉強以外のことに打ち込んでおられたのですね。
加藤：ピアノは確かに小学生くらいのときにはかなり一生懸命やっていて、中学２年生くらいになったときにはもう飽きちゃってやめちゃったんだけど、その後も自分でずっと弾いていて、今でも弾いていますけれどね。
数学と音楽の意外な親和性――「気持ちよさ」と「全体理解」
――音楽好きと数学への興味の接点や連続性について、感じられることはありますか。
加藤：それはいろいろな人が議論していることで、私も本（『数学の想像力』筑摩選書）に書いたことがあるのですよ。数学者の中を見回してみると、例えばピアノが上手な人とか、何らかの意味ですごく深く音楽にコミットした経験を持っている人が多い。おそらく確率論的に有意に多いんですね。それには、それなりにちゃんと理由があるのだろうとは思います。
一つには、数学と音楽がとても「似ているから」なのだと思うのです。何が似ているのかというと、どちらも非常に「論理的」であるということだと思うのですね。
――音楽はどちらかというと感性的なものだと思っていましたが、感性よりも論理というのは意外です。
加藤：はい。音楽だったら、一つの曲として例えば一つのフレーズがあり、次にそのフレーズの内容が次のフレーズに受け継がれていき、それがまた違ったフレーズに受け継がれて展開していくときには、突然予期もしないようなフレーズの断絶があったりする。そういったすべてのことを含めて、ある種の論理があるからこそ、我々は曲としてのまとまりをちゃんと感じて、一つの曲としてそれを認識して「いい曲だ」とか「あんまり好きじゃない」とか、そういう感覚が生まれるわけですね。
数学における論理というのも実は同じで、いわゆる仮言的三段論法という「AならばBである」というフレーズが一個あって、次に「BならばCである」というフレーズがあったときに、次に「AならばCである」という結論になるわけです。それは論理の非常に基本的なものなのですが、もしこれが「AならばBである」「BならばCである」の次に、「したがってDならばBである」みたいに論理的に全然違うことが結論としてきたら、やはり気持ち悪いと思うのですね。
――気持ち悪さ、ですか。
加藤：はい。で、どうしてそこで論理が破綻しているのかという思考が後から浮かんでくるわけですが、まずは「気持ち悪さ」というのがやっぱり一番重要だと思うのですよ。
だから、まず音楽というものが気持ちよさ、あるいは気持ち悪さということも含めて非常に論理的に展開されているということがあり、それからそもそも数学の論理性の根本にも「気持ちよさ」というのがあるということなんですね。だから音楽と数学とは根本的に同じ感じ方に根ざしたもので、好き嫌いとか人間の根本的な感情のところで、かなり繋がっていると思うのです。
――論理的であることの気持ちよさや、論理的でないことの気持ち悪さというのは、幼少期に育まれる感覚であって、数学の素養にも繋がってくる気がしますね。
加藤：まさにその通りだと思いますね。だからやはり数学が得意になる、論理的な思考ができるようになるためには、やはり「健康的な感受性」がなければいけないのだと思うのですよ。まあ、私がそういう健康的な感受性を持った人間かどうかは全く自信ないですけれど（笑）。
――数学も、やはり「気持ちよさ」で理解できると。
加藤：そうですね。それから、原理的なことが分かっちゃったら、あとは余計なことを理解しなくたって基本的にはいいという考え方、それもやっぱり音楽に通じるところはあると思うのですね。
音楽にも局所的な和音の良さとか刹那性がある反面、やはりこの曲の全体の印象のような根本的なものもあると思うのです。「この曲はそもそも根本的にどういったもので出来上がっているのか」という曲の素材みたいな。思えば私は、昔から読書感想文が得意だったのですが、それもある一つのストーリーに接したときに、それを全体的に見ようということを無意識にやっていたと思うのですね。
――全体を俯瞰しようと。
加藤：そうですね。それは数学でもやっぱり同じです。掛け算や割り算を含んだ色々な問題がありますが、「つまるところ要するに掛け算をやればいいじゃない」みたいなことというのは、「要はこうだよね」と勝手にそういう感じにまとめ上げちゃうということです。
音楽は、そういう全体的な理解を助けてくれると思うのですね。例えばモーツァルトの音楽を聴いて、「モーツァルトのここの和音がすごい良いんだよ」なんて言う人ってあんまりいないでしょう？ パーツよりも全体像ですよね。一個一個のパーツがどうこうと言われたら、「そうかなあ」とやっぱり思っちゃいますよね。
もちろんパーツがすごく良くて印象に残る音楽というのもあるとは思いますけれど、やっぱり「全体的な印象」というのが音楽ではかなり重要だと思うのですよ。
――演奏しようと思うと、絶対に全体的な理解が必要になりますね。
加藤：そうですね。もちろん全体的なことだけが分かってもダメで、一音一音ちゃんと弾けなければ曲にはならないわけで、局所的な理解と大域的（全体的）な理解の両方ができないとですね。
――ズームインとズームアウトですね。縮尺を変えて全体を見て個別を見てという意識の働きが、音楽にも数学にも有利に働くのですね。
加藤：だからそれは、私個人の思い込みかもしれませんが、やはりそういう全体的な把握というのは、音楽からの方が学びやすいと思うのですね。数学からそれを学べというのはなかなか難しいと思うけれど、音楽だったらどんな聴き方をする人だって、一曲という聴き方もするでしょうし、一音一音という聴き方をするときだってあるでしょうし。そうやって音楽の感じ方を小さい頃からビルドアップしていくといいんじゃないかと思うのですね。
ただ日本人は、音楽を理論的な角度で見ることがあまりないですね。情緒面で鑑賞しようとしがちですが、例えば「和声学」とか「対位法」なんていうのは一つの学問なわけですね。私もちゃんとやっていないから偉そうなことは言えないですけれど（笑）。