小４算数「直方体と立方体」指導アイデア《平面上や空間にある点の位置の表し方について理解する》

特集: 1人1台端末時代の｢教科指導のヒントとアイデア｣

2024.04.24

単元の展開

第１時　身の回りの箱の形に関心をもち、既習の平面図形を基に直方体や立方体、立体の意味について理解する。
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第２時　構成要素に着目して、直方体や立方体の特徴、性質を理解する。
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第３・４時　辺の長さや面のつながりなどに着目して、直方体、立方体の展開図をかき、直方体や立方体の特徴を説明する。
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第５時　直方体の面と面の垂直、平行の関係を理解する。
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第６時　直方体の辺と辺の垂直、平行の関係や、面と辺の垂直、平行の関係を理解する。
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第７時　直方体、立方体の見取図をかく。
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第８時（本時）平面上や空間にある点の位置の表し方について理解する。
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第９時　学習内容を確認し、数学的な見方・考え方をふり返る。

本時のねらい

平面上にある点の位置の表し方を基にして、空間上にある点の位置の表し方を考える。

評価規準

空間上にある点の位置の表し方について、基にする点からの３つの長さの組で表す方法を考えている。

本時の展開

点Ｂと点Ｃは、どこにあると言えばよいだろうか。

２台の車は、どの位置にあると言えばよいでしょうか。

どこから出発したのか知りたいです。

Ａから出発しているなら、まっすぐ進んでＢまで来たということでしょうか。

もし道路だったら、縦か横にまっすぐ進んで１回曲がります。

Ｂは縦４ｍ、横２ｍ進んだことになります。

Ｃは縦３ｍ、横４ｍ進んだことになります。

点の位置を表すときは、点Ａを基にすると、点Ｂは（横２ｍ、縦４ｍ）と表すことができます。

今どこにいるのかということが分かりました。

点Ｃは（横４ｍ、縦３ｍ）と表すことができます。

進み方ではなく、今いる位置を表すことができました。

車だとどこにいるかだけですが、物を棚に置くときなどには、どのように表せばよいのでしょうか。

車に風船をつけて走らせたときに、風船の位置は、どの位置にあると言えばよいでしょうか。

点Ｅと点Ｆは、どこにあると言えばよいだろうか。

空中にあるときは、どのように表せばよいのだろう。

平面のときは、縦と横を使ったから。

Ｂの車の風船は、Ｂの車の真上にあるということ。

Ｃの車の風船は、Ｃの車の真上にあるということ。

これも基にする点が必要ということかな。

風船は車の真上にあります。点Ａを基にすると、縦と横の長さは変わるでしょうか。

まだ分かりません。

縦と横の長さは変わらないと思います。

でも、縦と横だけだと、どこに風船があっても同じになってしまいます。

空間にある点の位置の表し方を考えて、説明してみましょう。

空間にある点の位置の表し方を考えて、説明しよう。

見通し

平面のときは、縦と横の２種類を使って表した。だから、もう１つ数字を使えばよいのではないか。（方法の見通し）

点Ａや点Ｅや点Ｆが直方体の頂点のように見えてきたな。まだ使っていない高さを使えば、点Ｅは高さ３ｍだ。（結果の見通し）

自力解決の様子

Ａ　つまずいている子
空間にある点の位置の表し方が分からない。高さのみで表している。

Ｂ　素朴に解いている子
平面上の点の位置と高さを個別に書き、空間にある点の位置を表している。

Ｃ　ねらい通り解いている子
平面上の点の表し方を基に、横、縦、高さを用いて、空間にある点の表し方を考え、説明している。

学び合いの計画

平面上にある点の位置を表す際に、基にする点を決めることとその点から２方向の長さを用いることで、すべての平面上にある点の位置を表現できることを学んでいます。そのことをふまえ、空間にある点の位置はどのように表せばよいか、直方体と立方体の特徴を想起させながら学習を行っていきましょう。

空間にある点の位置は、平面上にある点の表し方だけでは、高さによる表現の違いが出ないことや、３方向の長さを用いることで、位置を表せるのではないか、といったような意見交換する活動を通して、平面や空間の認識をより深いものとし、座標平面や座標空間といった数学的な見方を養うことができると考えます。

ノート例

Ｂ　素朴に解いている子

Ｃ　ねらい通り解いている子

全体発表とそれぞれの考えの関連付け

※Ｃ１、Ｃ２、Ｃ３のそれぞれが発表をする。

Ｃ１
点Ｅは３ｍ、点Ｆは２ｍと言えばよいと思います。

Ｃ２
点Ｅは点Ｂの真上にあるので、（横２ｍ、縦４ｍ）と高さ３ｍだと思います。

Ｃ３
点Ｅは点Ｂの位置に高さが加わったので、（横２ｍ、縦４ｍ、高さ３ｍ）になると思います。

３つを見比べて、似ているところはありますか。

どれも高さを使っています。

高さを使わないと、横と縦だけでは、全部同じになってしまう。

Ｃ２とＣ３は、横と縦も書いている。

もし横と縦が無かったらどうなるのだろう。

横と縦が書いていなかったら、平面のどこにあるか分からないよ。

なるほど。だから横と縦も書いておかないといけないのか。

３つの長さを書く必要がありそうですね。どのように書くとよさそうでしょうか。

平面のときは、（横〇ｍ、縦〇ｍ）と書いたので、高さを付け足せばよいと思います。

点Ｅなら、（横２ｍ、縦４ｍ、高さ３ｍ）になります。

点Ｆなら、（横４ｍ、縦３ｍ、高さ２ｍ）になります。

でも、どこからかを言わないといけません。

たしかに、どこからの長さなのかを言ってからではないと正しく伝えられません。

そうですね、平面も空間も基にする点がありましたね。

教室にあるものも、この表し方が使える気がします。

どこに何があるかを教えたいときに使えそうです。

例えばどんなものが表せるのでしょうか。

自分の座席を説明するときに、前から３番目、右から４番目と伝えるけれども、教室の前の扉を基にすると、（縦３ます、横４ます）と言える。

それなら、扇風機や時計の位置もできそう。

扇風機は（縦６ます、横６ます、高さ３ます）になりそうです。

学校の中でいろいろできそうです。

自分で校内のいろいろなものの位置を表すこともできそうですね。タブレットで写真を撮影して、位置の表し方を記入してもよさそうですね。

空間にある点の位置は、基にする点を決めて、３つの長さの組で表すことができる。

評価問題

ちょう点Ａとちょう点Ｃとちょう点Ｇは、どこにあると言えばよいだろうか。

子供に期待する解答の具体例

頂点Ｃは、（横６㎝、縦２㎝、高さ３㎝）です。
頂点Ｇは、（横６㎝、縦２㎝）です。（横６㎝、縦２㎝、高さ０㎝）とも言えます。
頂点Ａは、（横０㎝、縦０㎝、高さ３㎝）になります。

本時の評価規準を達成した子供の具体の姿

平面上にある点の位置の表し方を基にして、基にする点を決め、空間上にある点の位置の表し方を考えたり、伝えたりしている。

感想例

校庭にものを置くときに、どこからどのくらいのところに置けばよいかを説明することができるようになると思いました。
これまでは、ものがどこにあるか伝えるときに、何かの隣や何かの上などとしか伝えられなかったけれど、位置の表し方を使えば、しっかり伝えられると思いました。

イラスト／横井智美、やひろきよみ

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