分数の比をカンタンに簡単にする方法【土作先生ミニネタ動画】

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土作彰

【知っているか知っていないかで大違い! ツッチー先生のミニネタコーナー】第15回

授業ミニネタの達人・土作彰先生が、算数指導に使えるネタを紹介します。小学6年生算数「比」の単元で出てくる「分数の比を簡単にせよ」という問題の解き方、どのように指導しますか? 通分するよりも、たすきがけを使うよりも、これがいちばんカンタンで間違えも少ない解法です。

どう解く?「分数の比を簡単にしましょう。」

6年生の比の学習で、このような問題が出てきます。

「比を簡単にしましょう。」

① 16:24

この場合の解き方は、『左側(前項)と右側(後項)に同じ数字を掛けたり割ったりしても、比の値は変わらない』という比の性質を利用して、両側をそれぞれ「8」で割り、答えは「2:3」、というように指導していくのが一般的な方法だと思います。

② 2.5:1.2

①と同様に、小数の場合も小数点を移動すればいいだけなので、左側・右側ともに「10」を掛けます。そうすれば、小数点は移動して「25:12」。これで終わりです。


ここまでは、このやり方でいけると思います。

問題は次のような場合です。

③ [MATH]\(\frac{2}{3}\)[/MATH]:[MATH]\(\frac{5}{6}\)[/MATH]

このような分数の比となると、子供たちには結構難しいと思いませんか?

教科書を見ると、だいたい『通分する』という考え方で解いています。

両側の分数を通分すると、3と6の最小公倍数は「6」なので、

[MATH]\(\frac{4}{6}\)[/MATH]:[MATH]\(\frac{5}{6}\)[/MATH]

となります。

最後に、この分母を消すために両側の分数に「6」を掛けて『約分』します。

そして、最終的に「4:5」という解答に持っていきます。

このように、通分してから答えに持っていくのが最もオーソドックスな方法だと思います。

通分してから答えに持っていくのがもっともオーソドックス!

ここからがミニネタ——さっさと割りましょ!

ところが、最小公倍数を求めて通分するのは、どうもめんどうなので、ここからがミニネタです。

もういっそのこと……わり算にしちゃうんです!

わり算してしまう!

ご存知のとおり、比の値(a:b=[MATH]\(\frac{a}{b}\)[/MATH])は、わり算と商(a÷b=[MATH]\(\frac{a}{b}\)[/MATH])と同じ関係になりますから、はじめからわり算してしまうんです。

先ほどの③を、このやり方で解いてみます。

[MATH]\(\frac{2}{3}\)[/MATH][MATH]\(\frac{5}{6}\)[/MATH] ⇒ [MATH]\(\frac{2}{3}\)[/MATH]÷[MATH]\(\frac{5}{6}\)[/MATH]

=[MATH]\(\frac{2}{3}\)[/MATH] ×(わり算なので、分母と分子をひっくり返して)[MATH]\(\frac{6}{5}\)[/MATH] = [MATH]\(\frac{4}{5}\)[/MATH]

このように、「[MATH]\(\frac{4}{5}\)[/MATH]」という商が求められました。

これを比の値と考えると、「何:何」ですか……?

「4:5」ですから、通分したときと同じ。
当然、同じ答えになります。

「4:5」ですから、通分したときと同じ。当然、同じ答えになります。

通分するために最小公倍数を求めるのもいいのですが、結構めんどうくさく感じます。

そのような場合は、このようにわり算にしてしまうとすごく楽になるんじゃないかな、と思います。

練習してみましょう

続いて、次の問題で練習してみましょう。

④[MATH]\(\frac{3}{8}\)[/MATH]:[MATH]\(\frac{5}{12}\)[/MATH]

これもいわゆるオーソドックスな方法で求めると、8と12の最小公倍数「24」を使って通分していくと思いますが……

もうそんなんせんと、割りましょ(笑)!

割りましょう!

[MATH]\(\frac{3}{8}\)[/MATH][MATH]\(\frac{5}{12}\)[/MATH] ⇒ [MATH]\(\frac{3}{8}\)[/MATH]÷[MATH]\(\frac{5}{12}\)[/MATH] = [MATH]\(\frac{3}{8}\)[/MATH]×[MATH]\(\frac{12}{5}\)[/MATH] = [MATH]\(\frac{9}{10}\)[/MATH] = 9:10

早いですね! 非常に早いと思います。

早い!

こんな難題でも、あっという間!

この方法の何がいいかというと、小学校の問題ではめったに出ませんが、

[MATH]\(\frac{5}{17}\)[/MATH]:[MATH]\(\frac{10}{19}\)[/MATH]

このような比の値を求める、あるいは比を簡単にするときに威力を発揮します。

これを『通分する』という考え方で解くと、17と19という大きな素数の最小公倍数を求めることになり、かなりの手間がかかりますよね。

17と19という大きな素数の最小公倍数を求めるって…

でも、これもわり算にしてしまえば、

[MATH]\(\frac{5}{17}\)[/MATH] ÷ [MATH]\(\frac{10}{19}\)[/MATH] = [MATH]\(\frac{5}{17}\)[/MATH] × [MATH]\(\frac{19}{10}\)[/MATH] = [MATH]\(\frac{19}{34}\)[/MATH] = 19:34

と、あっという間に出ます!

最小公倍数を求めて通分するよりも、はるかに少ない時間で、少ない労力で、あっという間に答えが出ます。

あっという間!

つまり、わり算の答え「商」はそのまま「比の値」ですから、『商は比に直すことができる』という性質を使えば、かなり簡単に答えを求めることができる!というミニネタです。

「たすきがけ」でやってみると…これまた大変!

これとよく似た方法に「たすきがけ」があります。

たすきがけとはどういうものかというと、「たすき」を掛けるように斜めに数字を掛け合わせます。

たすきを掛けるように斜めに数字を掛け合わせる

[MATH]\(\frac{5}{17}\)[/MATH] ÷ [MATH]\(\frac{10}{19}\)[/MATH]の場合、

(左側の分子)5 ×(右側の分母)19:(右側の分子)10 ×(左側の分母)17

このように、「斜めに掛けた」数字で比を作ります。

この2つの答えの数字の比が同じ比になる、ということなのです。

すると、「95:170」 になりますが……。

これをまた約分するとなると、(そもそも数字が大きくて、いくつで割れるか見当を立てながら)5で割って「19:34」になりますが…知ってのとおり、どう見ても先ほどのわり算の方が簡単ですよね!

わり算した方が簡単!

「いちいちかけ算する」「もういちど5で割る」という手間もありますが、たすきがけだと、どちらの計算を先に書いたらいいかわからなくなってしまって、左右を間違える可能性が高くなります。

どっちを先に計算したらよいか…左右を間違えやすい

そういった意味からも、分数の比を簡単にするときには、すぐにわり算して商を求めて、求めた商を比にそのまま戻すと、非常に早くて間違えることも少ないと思いますので、ぜひお試しください!

・  ・  ・

分数の比は、見ただけでも難しく感じてしまいますが、ツッチー先生の「すぐにわり算する」方法なら、悩まずに解くことができますね! 小学校では習わないハイレベルな問題が解けたとなったら自信がついて、算数嫌いな子でも、がぜんやる気が出そうです。ぜひお試しください!

・  ・  ・

・  ・  ・

土作彰教諭

土作彰(つちさくあきら)●1965年生まれ。奈良県公立小学校教諭。「学級づくり」改革セミナー主宰。『マンガでわかる 学級崩壊予防の極意: 子どもたちが自ら学ぶ学級づくり』(小学館)、『知っているだけで大違い!授業を創る知的ミニネタ45」(黎明書房)他多数。

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