子供たちが自ら数直線やテープ図をつくり、縦に見比べていくような学習を行う【｢系統」を見通し、学年ごとに押さえる！ つまずきなしの「分数」指導法 #5】

前回、３年生の分数指導について新潟市立上所小学校の志田倫明先生に説明していただきましたが、今回からは４年生の分数指導について説明をしていただきます。

第４学年の知識及び技能は､（ア）大きさの等しい分数と（イ）分数の加法、減法

今回から４学年の分数指導について、話をしていきたいと思います。初回にお話をした通り、３学年と４学年の学習内容はつながっており、①分割分数、②量分数、③単位分数を扱うことには変わりがありません。ただ、３学年の分数の学習では、基本的には１よりも小さい数（真分数）を扱うことになっており、４学年の分数の学習では１よりも大きな数（仮分数、帯分数）を扱っていきます。

ちなみに、３年生の学習でも端数部分を扱う際に、１dLを[MATH]\(\frac{1}{3}\)[/MATH]dLだけ超える量を扱っていますが、これは正確には１と[MATH]\(\frac{1}{3}\)[/MATH]dLとは表現していません。あくまで「１dLよりも、少し多い」の「少し」を何と言ったらよいかということで[MATH]\(\frac{1}{3}\)[/MATH]dLを引き出しており、全体としては１dLと[MATH]\(\frac{1}{3}\)[/MATH]dLという表現に抑えています。ただし、分数を整数と同じ数として位置付けるための数直線づくりの学習では、１より小さい数から順番に考えていく過程で、[MATH]\(\frac{6}{5}\)[/MATH]や[MATH]\(\frac{7}{5}\)[/MATH]という表現が子供たちから出てきても、それを認めてあげてよいでしょう。それが４学年での学習との糊代部分になると考えていただければよいと思います。

３学年で学習した内容は４学年の学習でも出てきますが、それは当然のこととして、第４学年の学習指導要領解説の知識及び技能には､（ア）大きさの等しい分数と（イ）分数の加法、減法が示されています（資料参照）。大きくは４学年の学習はこの２つであり、３学年で学習した内容を引き継ぎながら、４年生でそれを広げていくというイメージをもっていればよいでしょう。

【資料】学習指導要領解説　算数編（p194より抜粋）

ア　知識及び技能 
（ア）大きさの等しい分数 
分数については、例えば[MATH]\(\frac{1}{2}\)[/MATH]と[MATH]\(\frac{2}{4}\)[/MATH]のように、表し方が違っても大きさの等しい分数がある。第４学年では、簡単な場合について、大きさの等しい分数があることに着目できるようにする。簡単な場合とは、例えば、数直線上に表した複数の分数について、その位置に着目し、位置が等しいことから、大きさが等しく表し方の違う分数があることを知るという程度を指している。なお、分母を通分して大小を比較することは、第５学年で指導する。
（イ）分数の加法、減法
和が１より大きい同分母の分数の加法及び減法の計算の仕方を理解し、それらの計算ができるようにする。 その際、真分数、仮分数、帯分数の意味と用語について指導し、真分数をはじめ、仮分数や帯分数の加法及び減法についても指導する｡（以下、より具体的な解説続く）

[MATH]\(\frac{1}{10}\)[/MATH]を単位分数とする数直線までが縦に並んだ図を使って学習

では、まず簡単な場合について、大きさの等しい分数があることを知るという学習の指導について説明していきましょう。ここでは大小比較を行うわけですが、ポイントとなるのは次の３点です。同分母の分数の場合は分子が大きくなるほど分数は大きくなる。同分子の分数の場合は分母が小さくなるほど分数は大きくなる。そして、分数には分母と分子が違っても大きさの等しい分数がある、ということを指導するわけです。このような学習を通して、分数の第一義である単位分数の幾つ分について学習していきます。

大きさの等しい分数について、先の学習指導要領解説には、｢数直線上に表した複数の分数について、その位置に着目し、位置が等しいことから、大きさが等しく表し方の違う分数があることを知るという程度を指している」と示されています。これは、教科書などに示されている、[MATH]\(\frac{1}{2}\)[/MATH]を単位分数とする数直線、[MATH]\(\frac{1}{3}\)[/MATH]を単位分数とする数直線…[MATH]\(\frac{1}{10}\)[/MATH]を単位分数とする数直線までが縦に並んだ図を使って学習していくことになります。

例えば３学年で学習した、｢[MATH]\(\frac{3}{6}\)[/MATH]と[MATH]\(\frac{4}{6}\)[/MATH]はどちらが大きい？」について考えるときには、この数直線の中で[MATH]\(\frac{1}{6}\)[/MATH]を単位分数とする数直線だけを横に見ていけば、大小比較ができたわけです。これが同分母の分数の場合は分子が大きくなるほど分数は大きくなる、というポイントに関わる学習でした。

４学年では複数の数直線を縦に見て大小比較する学習を行います。例えば「[MATH]\(\frac{3}{4}\)[/MATH]と[MATH]\(\frac{3}{6}\)[/MATH]はどちらが大きい？」といったことを考えていきます。分母が等しい分数を比較する際は、単位分数の幾つ分にあたる分子の数に着目して考えることを大切にします。分子が等しい分数を比較する際は、単位分数の大きさを表す分母の数に着目させる意図があります。このような分母が異なる分数を比較する場面を考えるとき、子供は複数の数直線を縦に見て、大小を比較していきます。例えば、｢[MATH]\(\frac{1}{2}\)[/MATH]と等しいところにある分数には、[MATH]\(\frac{2}{4}\)[/MATH]、[MATH]\(\frac{3}{6}\)[/MATH]、[MATH]\(\frac{4}{8}\)[/MATH]、[MATH]\(\frac{5}{10}\)[/MATH]がある」とか、｢じゃあ、[MATH]\(\frac{1}{3}\)[/MATH]と等しいのは？」と言うと、｢[MATH]\(\frac{2}{6}\)[/MATH]と[MATH]\(\frac{3}{9}\)[/MATH]が同じになっている」と見ていきます。このように、辞書引きでもするように見ていくのが、学習指導要領解説にある「位置に着目し」ということです。そうすると、先の[MATH]\(\frac{3}{4}\)[/MATH]と[MATH]\(\frac{3}{6}\)[/MATH]の大小比較も、[MATH]\(\frac{3}{4}\)[/MATH]のほうが[MATH]\(\frac{3}{6}\)[/MATH]よりも数直線の右側にありますから、[MATH]\(\frac{3}{4}\)[/MATH]のほうが大きいということが判断できます。

これは、どのような分数の用い方を基盤に考えているかというと、１が揃えてある数直線を２等分したもの、３等分したもの…10等分したものが並べてあるわけで、分割による用い方であり、｢３等分した１つ分（[MATH]\(\frac{1}{3}\)[/MATH]）が○つ分」と見ると、単位の用い方とも言えます。ところが、こうした学習をするとき、子供たちは定規を縦にして数直線に当てながら厳密にどちらが大きいと比較したり、確かめたりしていきます。つまり、分割や単位の用い方によって見ているのではなく、ただ左側の０からの長さによって大小を比較している場合が少なくありません。このように数直線が並べてあると、比較するのに便利ではありますが、分割による用い方によって分数を考えたり、表現したりする必要がなくなってしまいます。

？マークの書かれた大きな袋からカードを取り出す

ですから、私は学習過程で子供たちが自ら数直線づくりやテープ図づくりを行って、縦に見比べていくような学習を行います。

まず「大きさ比べをしよう」と板書すると、子供たちは「何の大きさを比べるんですか？」と言うので、？マークの書かれた大きな袋を出してきて、｢この中にいっぱい入っているよ」と言いながら、たくさんのカードの入った袋の中を見せます。そこから１枚のカードを取り出すと、[MATH]\(\frac{4}{6}\)[/MATH]と書かれており、｢あっ、分数の大きさ比べだ！」と言います。｢じゃあ、次に何が出てくるかな？」と言いながら、[MATH]\(\frac{3}{6}\)[/MATH]、[MATH]\(\frac{3}{4}\)[/MATH]と出していきます。ちなみに、この袋の中はいくつかの仕切りで分けてあって、意図的にこの３つの分数を出してきているわけです。

ここで「何と何なら比べられそう？」と聞くと、｢[MATH]\(\frac{3}{6}\)[/MATH]と[MATH]\(\frac{4}{6}\)[/MATH]」と言い、理由も「だって分母が同じだから」と説明します。これについては、３年生のときにも学習していますから、｢図を使えば、はっきり分かるよ」と言うので、実際に多様な図を描いて説明します。この学習については、学習指導要領解説にもありますが、テープ図を使って考えさせていきたいので、｢〇〇さんはこんなふうに考えていたよ」と、テープ図を使っている子供の方法を取り上げます（画像１参照）。

【画像１】

そうやって[MATH]\(\frac{3}{6}\)[/MATH]と[MATH]\(\frac{4}{6}\)[/MATH]の大小を確認した後、｢じゃあ、次は何と何なら比べられそう？」と聞くと、子供たちは「[MATH]\(\frac{3}{6}\)[/MATH]と[MATH]\(\frac{3}{4}\)[/MATH]」｢だって分子が同じだから」と言います。ここで、私が「さっき分子が大きい[MATH]\(\frac{4}{6}\)[/MATH]のほうが大きかったから、今度は分母が大きい[MATH]\(\frac{3}{6}\)[/MATH]のほうが大きいかな…」とわざとボケてあげると、｢図を描いてみないと分からない」と言いながら、実際にテープ図を描きながら比較していくわけです。

ところがこの学習をすると、｢あれ、同じになった！」と言う子が結構出てきます（画像２参照）。そこで、同じになったという子の図を取り上げながら、｢どうしてこのような図を描いたのかな？」とその子の意図を探っていきます。そうすると、その子は先に[MATH]\(\frac{3}{6}\)[/MATH]と[MATH]\(\frac{4}{6}\)[/MATH]を比較するとき、ノートのマス目を使いながら[MATH]\(\frac{1}{6}\)[/MATH]の長さを揃えて図を描いたので、[MATH]\(\frac{3}{4}\)[/MATH]を比べるときにも[MATH]\(\frac{1}{4}\)[/MATH]の１つ分を[MATH]\(\frac{1}{6}\)[/MATH]の１つ分と揃えて図を描いたことが分かるのです。１つ分を揃えたという、この子なりの根拠が分かるわけです。

【画像２】

そこまで見えてくると、｢[MATH]\(\frac{1}{6}\)[/MATH]と[MATH]\(\frac{1}{4}\)[/MATH]が同じじゃおかしいよ」｢揃えなきゃいけないのは、１つ分のほうじゃなくて、全体の１だよ」｢右端の１の位置が違っているよ」と子供たちが説明していきます。ここで、右端の１を揃えようとすることで、どの子ももとになる１を意識するようになるわけです（画像３参照）。

【画像３】

そこで図を修正するときに、ノートのマス目を使って正確に分割することができずに困る子供がいます。ここで困っていることを取り上げ、共有すると、12個分のマス目を使えば、[MATH]\(\frac{1}{6}\)[/MATH]と[MATH]\(\frac{1}{4}\)[/MATH]がきれいに図が描けることに気付く子も出てきます。これは、通分を意識しているわけではありませんが、１を揃えた図を描こうとするために、このように考えて描く子が出てくるわけです。そうやって描くことで、[MATH]\(\frac{3}{6}\)[/MATH]と[MATH]\(\frac{3}{4}\)[/MATH]は[MATH]\(\frac{3}{4}\)[/MATH]のほうが大きいと分かるだけでなく、12のマス目に気付いて、｢[MATH]\(\frac{3}{6}\)[/MATH]と[MATH]\(\frac{3}{4}\)[/MATH]は[MATH]\(\frac{6}{12}\)[/MATH]と[MATH]\(\frac{9}{12}\)[/MATH]とも言える」という子供がいます。これは、もとにする大きさの１を揃えて、それぞれ等分することで、[MATH]\(\frac{1}{4}\)[/MATH]、[MATH]\(\frac{1}{6}\)[/MATH]、[MATH]\(\frac{1}{12}\)[/MATH]を単位とした数直線をつくり、比較している姿です。このような過程を経て「結局、分母を同じにすれば比べられる」と言い出すのです。ちなみに[MATH]\(\frac{3}{6}\)[/MATH]と[MATH]\(\frac{3}{4}\)[/MATH]はそのようなことを意識して数値設定をしています。このように[MATH]\(\frac{3}{6}\)[/MATH]と[MATH]\(\frac{3}{4}\)[/MATH]を比べる過程、さらに[MATH]\(\frac{3}{6}\)[/MATH]と[MATH]\(\frac{3}{4}\)[/MATH]を[MATH]\(\frac{6}{12}\)[/MATH]と[MATH]\(\frac{9}{12}\)[/MATH]と見ていく過程で、先の教科書教材のときのように、数直線を縦に見ていくことと同じ学習をしているのです。

このような学習過程を通して、｢分母を等しくすることで分数の大きさは比べられる」｢１をそろえて図を描けば、分数の大きさは比べられる」ということが、子供たちのまとめとなります。そこで、｢じゃあ、どんな分数でもそうかな？　他にも袋の中にまだ分数があるから出すよ」と言いながら、[MATH]\(\frac{3}{10}\)[/MATH]と[MATH]\(\frac{3}{5}\)[/MATH]を出してきて、子供たちが図を書いて説明していく、というように学習が進んでいくわけです。

※

今回は、分数の大小比較の実践例を紹介しましたが、次回はこの指導の簡単な解説とともに、分数の加法、減法を中心に説明していただきます。

執筆／教育ジャーナリスト・矢ノ浦勝之

つまずきなしの「分数」指導法
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