小6算数「比例と反比例」指導アイデア《反比例する二つの量の変わり方と特徴》

特集: 【文部科学省教科調査官監修】1人1台端末時代の｢教科指導のヒントとアイデア｣

2022.09.15

単元の展開

第１時　伴って変わる二つの数量の変わり方について考える。
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第２時　紙の枚数と紙の重さとの関係を調べ、説明する。
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第３時　針金の長さと重さの二つの数量が伴って変わることを調べ、比例の意味について考える。
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第４時　比例の性質について考え、比例の関係は式で表すことができることを知る。
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第５時　比例の性質を利用して、比例の関係を式で表す。
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第６時　xとyの関係を式に表し、決まった数は何を表しているか考える。
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第７時　比例の関係をグラフに表すことを考え、かき方と特徴を知る。
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第８時　グラフを見て、比例しているかどうかを判断したり、数値を読んだりする。
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第９・10時　比例の関係を表す式やグラフを用いて、問題解決の方法を考える。
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第11時（本時）反比例する二つの量の変わり方を調べ、反比例の特徴を考える。
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第12時　反比例の性質を見付け、反比例を表す式やグラフについて考える。
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第13時　反比例の性質を利用して、問題解決の方法を考える。
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第14・15時　適用問題を解く。

本時のねらい

反比例の意味や性質について、面積が一定のときの長方形の縦と横の長さの関係について調べる活動を通して、比例の意味や性質と比較しながら、反比例する二つの量の変わり方や対応する値の特徴を説明することができる。

評価規準

反比例の関係にある二つの数量について、比例の場合と比較しながら、二つの量の変化や対応の特徴を考え、説明することができる。

本時の展開

今からいくつか、伴って変わる二つの量が出てきます。yがxに比例しているかどうか考えましょう。

比例を見付けよう。
※フラッシュカードで一つ一つ提示する。
①１枚24円のカードx枚と代金y円
②底辺24㎝、高さx㎝、面積がy㎠の平行四辺形
③横の長さx㎝、縦の長さy㎝、面積が24㎠の長方形

簡単です。①は比例しています。

式にすると……、24×x＝yです。だから、カードの枚数xが２倍、３倍……になると、代金yも２倍、３倍……になります。

本当に２倍、３倍になっていますか。

なっています。ほら、表にかくと……。

いいですね。表にかいて確かめてみましょう。

見てください。xが１枚のとき、代金yは24円。xが２枚のとき、代金yは48円。xが３枚のとき、代金yは72円。xが２倍、３倍……になると、yも２倍、３倍……になるので比例しています。

同じです。xが２枚のとき、代金yは48円。xが４枚のとき、代金yは96円。この部分も２倍になっています。表にすると分かりやすいです。

では、式で表すとどうなりますか。

24×x＝yです。

同じです。だから、y＝24×x。決まった数は24です。

yがxに比例するとき、二つの量の関係を式で表すと、y＝決まった数×xになるのでしたね。では、②はどうですか。

②も比例しています。

同じです。だって、平行四辺形の面積は、底辺×高さで求められるから、高さが高くなると面積も大きくなっていきます。底辺xが２倍、３倍……になると、面積yも２倍、３倍……になるはずです。

でも、さっきみたいに表で確かめてみたいな。

表で確かめた結果を教えてください。

xが１㎝のとき、面積yは24㎠。xが２㎝のとき、面積yは48㎠。xが3㎝のとき、面積yは72㎠です。だから、xが２倍、３倍……になると、yも２倍、３倍……になるので比例しています。

ほかの部分でも同じことが言えますか。

言えます。この部分を見てください。xが３㎝のとき、面積yは72㎠。xが6㎝のとき、面積yは144㎠です。

やっぱり、比例しているね。式も言えます。y＝24×xです。

式に表してみると、①と同じだね。

最後に、③はどうですか。

ん？　あれ？　今までと違って、③は比例してないな。

面積が決まっている長方形の横の長さx㎝、縦の長さy㎝の二つの量は、どのような関係だろうか。

見通し①

面積が24㎠になる長方形は、例えばどんなものがありますか。

縦４㎝と横６㎝の長方形があります。

縦３㎝と横８㎝の長方形も面積が24㎠になります。

縦と横の長さが反対のものもあります。

反対ってどういうことですか。

（図形を回転する動作をしながら）縦６㎝と横４㎝、縦８㎝と横３㎝の長方形です。

横の長さが変わっていくと、それに伴って何が変わっていますか。

長方形の形が変わります。

縦の長さが変わっていくからね。

xとyが整数値の組み合わせをすべて整理したら、「xとyが小数だったらほかにもある」という考え方に広げていきます。小数値を扱うことで、グラフの学習をするとき、反比例のグラフは直線ではなく、なめらかな曲線になることを理解させる際に活用しましょう。

（xとyが整数値になるすべての24㎠の長方形が出たら）では、面積が24㎠になる長方形は、この８種類で全部ですね。

小数も入れるともっとできます。

例えば、x、yがどんな小数だったらできますか。（ロイロ）ノートに書きだしましょう。

縦２.４㎝と横10㎝の長方形もあります。

縦１.２㎝と横20㎝の長方形もあります。

縦５㎝と横４.8㎝も面積24㎠になります。

小数だと、いくらでもできそうです。

１人１台端末活用ポイント１

導入や見通しの場面
ロイロノートのテキスト機能を使用し、個人で面積が24㎠になる長方形をかかせます。思い浮かんだ長方形を短時間でメモのようにたくさんかき込んだり、さっと消したりできるので、導入や見通しの場面でタブレットを活用するときに有用です。子供たちの考えは提出箱に提出させ、全体でも共有します。

見通し②

では、二つの長さの関係は、どのように調べるとよいでしょうか。

表に表せば、二つの量の関係を調べられると思います。

そうだね。比例の関係を調べるときに表を使ったね。

自力解決の様子

A つまずいている子

二つの量の関係を、表からどのように見付ければよいか分からない。

Ｂ素朴に解いている子

比例のきまりを学習したときのことを想起しながら、表を横に見て、二つの量の変わり方の特徴を考えている。

Ｃねらい通り解いている子

比例の場合と比較しながら、表を横や縦に見て、二つの量の変わり方の特徴を見付け、矢印や式、言葉でノートにまとめている。

学び合いの計画

Ａは、横の長さx㎝と縦の長さy㎝の二つの量を表にまとめることはできても、表のどの部分をどのように見ると変化のきまりや対応のきまりを見付けられるのかが分かっていません。つまり、表から何を見ればよいかが分かっていません。二つの量の関係ではなく、一つの量の変化だけを捉えています。二つの量の関係性を捉えることがまだ難しいのかもしれません。

一方の量が変化するともう一方の量も変化する、という関係にある二つの量のことを「伴って変わる二つの量」という見方・考え方は、今後中学校の関数指導につながるものです。「比例と反比例」の学習において、しっかり身に付けさせる必要があります。

Ａにとって、ＢやＣが表のどの部分を見て、どのように考えたか理解することが難しいと考えられます。そのため、まずＢやＣが表のどこを見たのか明らかにします。次に、どのように考えたのか理解を促します。このように段階を踏んで、理解できるように交流させることがポイントです。

具体的には、自力解決の段階から、表に矢印、数値、式や言葉など気付きを書き込ませます。その後、考えを交流させる場面では、まず表のどの部分を見て考えたのかを伝えるようにさせます。

友達の表の見方が分かったり、自分の表の見方と比べたり、漠然とxは増えてyは減っていると考えたりしていた子は、xが２倍になるとyが[MATH]\(\frac{1}{2}\)[/MATH]倍になっていることに気付いたり、自分の考えとの類似点や相違点に気付きやすくなります。加えて、視覚的にも比例と反比例を比較しやすくなり、その違いを理解しやすくなるでしょう。

xとyって、どんな関係なのかな。表は埋められたけど……。

表を横に見るといいよ。

横に見る？　xは１ずつ増えているな。あれ。でも途中から２増える？

たし算ではなく、比例のときみたいに２倍、３倍……で考えるといいよ。例えば、表の２と４を見て。4÷２＝２でしょ？　だから、２倍になっているでしょ。表の２と６を見ると６÷２＝３だから、何倍になってる？

３倍だ！　増えてるね。

そうそう。次に表の同じ部分のyを見てみるよ。x＝２のときy＝12。x＝４のときy＝６だよね。yの変わり方を横に見ると、６÷12＝[MATH]\(\frac{6}{12}\)[/MATH]で約分して[MATH]\(\frac{1}{2}\)[/MATH]になるよね。

半分に減ったね。

うん。同じようにx＝６のときy＝４。だから４÷12＝[MATH]\(\frac{4}{12}\)[/MATH]で約分して[MATH]\(\frac{1}{3}\)[/MATH]。だから、xとyの関係は？

xが増えるとyは減る関係だ！　そうか。xとyはバラバラに見ないで、表の同じところで考えるのか。あと、何倍で考えるんだね。

ノート例

全体発表とそれぞれの考えの関連付け

二つの量はどんな変わり方をしていましたか。

上と下が逆になっています。

今の意見の言いたいことが分かりますか。

分かります。xが増えるとyは減っているから、増え方が反対になっています。

前まで学んでいた比例している表は、xが増えるとyも大きくなったけれど、今回はyが減っています。

反比例の特徴は、比例の関係と対比させながら明らかにさせます。比例との違いについて、子供たちのさまざまな言葉（考え）を共有することで理解を促すとよいでしょう。特に、比例の反対という言葉は取り上げて価値付けましょう。

表のこの部分を見てください。xは２倍になっています。でも、yは２倍になっていません。６÷12＝[MATH]\(\frac{1}{2}\)[/MATH]倍になっています。同じようにxが３倍になると、yは４÷12＝[MATH]\(\frac{1}{3}\)[/MATH]倍になります。

表のほかの部分でも同じことが言えますか。

言えます。表のこの部分を見てください。xが２倍になっても、yは12÷24＝[MATH]\(\frac{1}{2}\)[/MATH]倍。xが３倍になっても、yは８÷24＝[MATH]\(\frac{1}{3}\)[/MATH]倍です。

別の見方もできます。xが[MATH]\(\frac{1}{2}\)[/MATH]倍になるとyが２倍。xが[MATH]\(\frac{1}{3}\)[/MATH]倍になるとyは３倍になっています。つまり、xが減るとyが増える関係です。

本当だ！　やっぱりxとyの変わり方が反対になるね!!

小数の部分はどうですか。

同じことが言えます。xが５倍になるとyは[MATH]\(\frac{1}{5}\)[/MATH]倍になるし、xが10倍になるとyは[MATH]\(\frac{1}{10}\)[/MATH]倍になっています。

小数のときも、同じようにxとyの増え方が反対だね。

つまり、今回の二つの量は比例の関係でしょうか。

比例していません。

その通りです。面積が決まっている長方形の横の長さxcmと縦の長さycmの二つの量の関係のように、xが２倍、３倍……になるとyは[MATH]\(\frac{1}{2}\)[/MATH]倍、[MATH]\(\frac{1}{3}\)[/MATH]倍……となり、xが[MATH]\(\frac{1}{2}\)[/MATH]倍、[MATH]\(\frac{1}{3}\)[/MATH]倍……になるとyは２倍、３倍……になる関係を反比例と言います。

〇〇さんが言っていたように、比例とは反対になるから反比例なんだね。

それから、x×yは必ず24になっているよ。

同じです。だって、長方形の面積は24㎠って決まっているから。

その通りですね。表のどの部分を見ても、x×y＝24（決まった数）となります。

・yはxに比例していない。　　
・x×y＝24
・xが２倍、３倍……になるとyは[MATH]\(\frac{1}{2}\)[/MATH]倍、[MATH]\(\frac{1}{3}\)[/MATH]倍……となり、xが[MATH]\(\frac{1}{2}\)[/MATH]倍、[MATH]\(\frac{1}{3}\)[/MATH]倍……になるとyは２倍、３倍……となる関係。

評価問題

周りの長さが24㎝の長方形で、横の長さをxcm、たての長さをy㎝としたとき、yはxに反比例していますか。

子供に期待する解答の具体例

xが増えるとyは減るけれど、xが２倍……になっても、yは[MATH]\(\frac{1}{2}\)[/MATH]倍……になっていないから、反比例していない。

感想例

xが２倍……に増えると、yが[MATH]\(\frac{1}{2}\)[/MATH]倍……に減る関係のことを反比例と言うことが分かりました。比例のときと増え方が反対になるから反比例という友達の意見が分かりやすかったです。

１人１台端末活用ポイント２

比例と反比例において、グラフの学習をするとき活用できるアプリが「GeoGebra」です。このアプリでは、グラフや図形が描画できます。式からグラフに表すときに抵抗のある子供が多いので、比例の場合、表の対応する値の組を表す点をとり、直線で結ぶ活動を行ったり、反比例の場合は、なめらかな曲線になることを見せて概形をつかませる活動を行ったりして活用することが可能です。

イラスト／横井智美

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