小数と分数を同じと見るときには２つの見方【｢系統」を見通し、学年ごとに押さえる！ つまずきなしの「分数」指導法 #10】

前回まで新潟市立上所小学校の志田倫明教諭に、５学年の分数指導について説明をしていただきました。今回はその中で、｢６学年の指導にも通じる部分があるため、６学年の内容と続けて考えたい」ということで残しておいた、｢小数を分数の形に直したり、分数を小数で表したりする」内容から説明をしていただきます。

学習してきたことの意味を問い直す

前回までの５学年の分数指導で、触れずに残しておいた内容があります。それが、｢整数及び小数を分数の形に直したり，分数を小数で表したりすること｣（学習指導要領、第５学年、２内容Ａ数と計算⑷ア(ｱ)）です。これは、整数や小数（特に小数）と分数を同じ（有理数の一つの表現形態）と見ることであり、それについて改めて学び直すということです。ちなみに分数の意味という点では、５学年までの内容でほぼ完結しています。ですから６学年では、５学年までに学習してきたことを活用して、問題解決を図ることが中心なのですが、その過程で改めて学習してきたことの意味を問い直すことが大切であるため、この５学年の学習内容と一緒に考えていきたいと思います。

さて、小数と分数を同じ数と見るときには、２つの見方があります。言うまでもなく、分数から小数という見方と小数から分数という見方です。これは同じことをやっているように思われますが、分数の学習という観点からすると、実は異なる用い方をしているということを考えていきたいのです。

例えば、｢[MATH]\(\frac{9}{4}\)[/MATH]という分数を小数に直すときは、どのように考える？」と投げかけるとしましょう。そのとき、子供たちは９÷４というわり算を行い、その結果として2.25という小数に置き換えます。これは、わり算の結果としての分数[MATH]\(\frac{9}{4}\)[/MATH]を考えるわけですから、[MATH]\(\frac{A}{B}\)[/MATH]＝Ａ÷Ｂという、商としての分数（商分数）の用い方をしているわけです。そのとき、子供たちが着目しているのは、分数をどのようなわり算の式として見るかということになります。

そのように考えていくと、いろいろな分数が小数に置き換えられるわけですが、[MATH]\(\frac{9}{7}\)[/MATH]のような分数だと、９÷７となり、1.285714…というような、ずっと続く小数になります（資料１参照）。このような数に出合うことによって、小数では表すことのできない場合もあるということで、改めて分数の良さを理解することもできるわけです。

（資料１）

一方、小数から分数にするときに、どのように考えているのでしょうか。例えば、0.3を分数に直すときには、わり算をするのではなく0.3を0.1の３つ分と見て、それを[MATH]\(\frac{1}{10}\)[/MATH]が３つと置き換えて、[MATH]\(\frac{3}{10}\)[/MATH]と考えています。これは、[MATH]\(\frac{1}{□}\)[/MATH]という単位分数のいくつ分と見る用い方です。小数点以下第２位までの小数になった場合も同様に考え、例えば0.47なら0.01の47つ（個）分と見て、[MATH]\(\frac{47}{100}\)[/MATH]となります（資料２参照）。

（資料２）

いずれも、小数と分数が同じ有理数を表しているということの理解ではあるのですが、どちらからどちらを見るかということによって、分数の用い方が変わるわけです。このような学習をするときに、ただ単に分数から小数へ、小数から分数へ置き換えができるようになるだけで終わってしまうのは少しもったいないと思います。その際に先のような発問などによって、分数をどのように用いているのか、子供と一緒に押さえておくのは先々の学習をしていく上で、とても価値のあることだと思います。

坪田耕三先生のおもしろい実践

この学習場面で、非常におもしろい実践があります。私自身のものではなく、坪田耕三先生（故人・筑波大学附属小学校副校長、筑波大学教授など）の実践なのですが、先の場面で置き換えるべき小数を循環小数にしたら、子供たちはどのように考えるのかというものです。

先の0.３を[MATH]\(\frac{3}{10}\)[/MATH]に置き換えた学習の後、0.3333…という循環小数を示して、「分数に直すとどうなる？」と投げかけます。すると、0.3333…になる分数を知っている子供が[MATH]\(\frac{1}{3}\)[/MATH]と答える場合もありますが、知っている子供にはそれを少し待ってもらって、既習事項を基に考えさせていくのです。そうすると子供たちは、いろいろ思考を巡らせますが、0.3333…は0.3よりも少しだけ大きい数だと考え始めて、分数も[MATH]\(\frac{3}{10}\)[/MATH]より、少しだけ大きい数になるはずだと考える子供が出てきます。そうすると、[MATH]\(\frac{3}{10}\)[/MATH]よりも少しだけ大きい分数をつくるには、分母を少しだけ大きくするか、分子を少しだけ小さくすればよいと考えていくのです。

そこで、まず「分子を少しだけ大きくして[MATH]\(\frac{4}{10}\)[/MATH]はどうかな？」と考えると、４÷10で０.4となってしまいます。｢では、分母を少しだけ小さくした[MATH]\(\frac{3}{9}\)[/MATH]はどうかな？」と考えてみると、３÷９＝0.3333…となるわけです（資料３参照）。

（資料３）

ここからは余談になりますが、先の例で分母が９になることには意味があります。そのために、例えば、0.513513513…という循環小数について考えてみることにしましょう。これを数学的に考え、a＝0.513513513…と置きます。そうすると、1000a＝513.513513513…となりますので、1000a－a＝999a＝513となります。つまり、0.513513513…＝513/999となるわけです（資料４参照）。

（資料４）

この問題について、実際に私のクラスで問いを投げてみましたが、やはり子供たちは0.3333…を考えたときと同様に、｢0.5より少し大きい数」と見て[MATH]\(\frac{5}{10}\)[/MATH]を基に考えようとするため、なかなか見付からなかったのです。そこで、｢実は[MATH]\(\frac{513}{999}\)[/MATH]なんだよ」と私のほうから示したところ、｢あれっ？　分母が９並びになっているね。おもしろいね」という話になりました。

ただし先のように、a＝0.513513513…と置いて、考えていく式を説明しても理解はむずかしいのが現実です。ですから、いくつかの循環小数を並べてみる程度にしておいて、｢いつも９が分母に並ぶ」｢循環する桁分だけ９が並ぶ」といったことが帰納的に見えてくると、おもしろいのではないかと思います。

※

今回は５学年までの学習を問い直すということで、｢小数を分数の形に直したり、分数を小数で表したりする」学習について説明していただきました。次回からは分数の乗法、除法について考えていきます。

執筆／教育ジャーナリスト・矢ノ浦勝之

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