わり算の商に分数を使えば、１つの数で表現できるという発見【｢系統」を見通し、学年ごとに押さえる！ つまずきなしの「分数」指導法 #7】

系統性を踏まえた分数の授業づくりについて、新潟市立上所小学校の志田倫明教諭に解説していただくこの企画。今回からは、小学校の分数学習で最も重要なポイントとなる５学年の分数授業について説明していただきます。

整数や小数で表しきれないものも、分数なら表せる

今回は５学年の内容についてですが、分数に限らず、全体に学習内容の抽象度が上がり、子供たちにとってむずかしくなるのが、５学年の学習だろうと思います。分数については、４学年までの学習では分数の第一義「１を○等分したいくつ分」について学習してきましたが、５学年の分数の学習では、主に第二義「整数を整数で割った商」について学習していくことになります。

ちなみに学習指導要領における内容に関する記述は、⑷分数に関わる数学的活動を通して…と、⑸分数の加法及び減法に関わる数学的活動を通して…に分かれていますが、今回はまず前者について説明をしていきたいと思います（資料１参照）。

【資料１】

学習指導要領（p66～67より抜粋）
⑷分数に関わる数学的活動を通して、次の事項を身に付けることができるよう指導する。
ア　次のような知識及び技能を身に付けること。
（ア）整数及び小数を分数の形に直したり、分数を小数で表したりすること。
（イ）整数の除法の結果は、分数を用いると常に一つの数として表すことができることを理解すること。
（ウ）一つの分数の分子及び分母に同じ数を乗除してできる分数は、元の分数と同じ大きさを表すことを理解すること。
（エ）分数の相等及び大小について知り、大小を比べること。
イ　次のような思考力、判断力、表現力等を身に付けること。
（ア）数を構成する単位に着目し、数の相等及び大小関係について考察すること。
（イ）分数の表現に着目し、除法の結果の表し方を振り返り、分数の意味をまとめること。

学習指導要領のア　知識及び技能について見てみると､（ア）は小数と分数も整数と同じ有理数の一部だということですが､（イ）では除法の結果ということが初めて出てくるわけで、これが大きなポイントだと思います｡（ウ）は約分、倍分に関することで、（エ）は大小比較です。イ　思考力、判断力、表現力等を見ても､（イ）に除法の結果として分数を用いることが示されており、やはりこれが５学年の内容の中心になってくると思います。

さて、ア　（イ）に示された除法の結果としての分数についてですが、なぜ商なのかということを考えることが大切です。これまで子供たちが学習してきた整数のたし算、ひき算、かけ算の結果、和や差や積は、常に整数で表すことができました。ところがわり算は異なります。例えば、３学年で、12÷５を考えたとき、整数の答えを探すことができず、12÷５＝２あまり２としたわけですが、これでは数学的にうまく整理できているとは言えません。逆算の、５×（２あまり２）ができないからで、正しい答えではなく、仮の答えといったところになります。

これが４学年の学習で、小数を学習することによって、12÷５＝2.4と小数で表せるようになりました。逆算しても2.4×５＝12ですから、これは正しい答えと言えるのですが、小数で表すことを学習しても５÷３のような式になると、小数では表しきれなくなります。このように小数を使っても、常に商が１つの数で表現できないという状況があるところで、商を分数で表す必然性が出てくるのです。整数や小数で表せていたものを同様に分数でも表すことができるわけですが、分数で表すことの必然性は、整数や小数で表しきれないものも分数なら表すことができるということです。

ですから、大切なことは、｢ａ÷ｂ＝[MATH]\(\frac{a}{b}\)[/MATH]」と形式的に答えられることではなく、わり算の商に分数を使えば常に計算の答えを１つの数で表現できるという発見の体験なのです。

｢小数では表せない」という体験が大事

では実際の授業について説明していくことにしましょう。

３、４学年の授業でも似通った問題を取り上げましたが、この学習で私は全体の長さを変数⬜︎mとしたテープを示して、｢これを３等分するとどうなるかな？」と問います。すると子供たちはテープの図を３等分し、｢ここがテープを３等分したところで[MATH]\(\frac{1}{3}\)[/MATH]だよ」｢ここは[MATH]\(\frac{2}{3}\)[/MATH]」などと言います。｢では、３等分したものの長さは何ｍ？」と考えていくわけです。

このときに「全体が何ｍだったら、３等分した長さがすぐに分かるかな？」と投げかけて考えていってもよいでしょう。そうすると、子供たちは「３ｍだったらすぐに分かるよ。だって３mの３等分は、３ｍを３でわるから１ｍ」｢６ｍも分かるよ。６ｍを３でわれば２ｍ」などと言います。そう考えていくと、｢⬜︎が２ｍだと割りきれなくなるよ」という話になるのです（資料２、３参照）。

【資料２】

【資料３】

３等分は全体量÷３ということを繰り返していますから、すぐに「２mなら２÷３」と立式はできます。小数の学習をして間もない子供たちは計算しようとしますが、0.66666…となり「割りきれない」というわけです。先に説明したように、この「小数では表せない」という体験が大事なのです。ここで、４学年では「およその数」を学習していますから、0.66666…を「約0.7としたらどうだろう」と考えても、｢逆算したら0.7×３＝２.1だから正しい商とは言えない」ということになります。

そこで、｢今まで学習してきた分数で表せないかな？」と子供たちから出てくれば、その意見を取り上げて考えていけばよいし、もし出なければ教師側から出してもよいと思います。ここから分数で表すことを考えるわけですが、４学年で一度学習をしていても、[MATH]\(\frac{1}{3}\)[/MATH]mと考える子が出てくることがあるので、そのときの学習と同様に、｢ここが[MATH]\(\frac{1}{3}\)[/MATH]mだったら、全体は…」と改めてていねいに扱うことが大事です。そうすれば、きっと「ああ、４年生で勉強したね」と言い出すことでしょう。

このように、子供たちが追究して整理できたところで、私は、５年という学齢であれば、｢分数には、いろんな見方（あるいは、それに沿った用い方）があって…」と話し、[MATH]\(\frac{1}{3}\)[/MATH]と考えた子は全体に対する割合と見ていたのだし、[MATH]\(\frac{2}{3}\)[/MATH]mと考えた子は２m（全体の量）の[MATH]\(\frac{1}{3}\)[/MATH]（割合）で、[MATH]\(\frac{2}{3}\)[/MATH]m（量）と見ていたんだということを話します（資料４参照）。そうすることで、問われている場面（用い方）に応じて考えながら、意図的に分数を使っていけるようになると考えています。

【資料４】

その説明のときにテープ図を使って、６ｍに対する２mの所に６ｍの[MATH]\(\frac{1}{3}\)[/MATH]と書き、３ｍに対する１ｍに３ｍの[MATH]\(\frac{1}{3}\)[/MATH]と書き、２ｍに対する[MATH]\(\frac{2}{3}\)[/MATH]ｍに２ｍの[MATH]\(\frac{1}{3}\)[/MATH]と書きます。そして、｢[MATH]\(\frac{1}{3}\)[/MATH]は全体に対する割合だから、変わらないんだ。この変わらないものを表しているのが割合の分数なんだよ」と話すのです。さらに「全体が２ｍという量であれば、その[MATH]\(\frac{1}{3}\)[/MATH]の割合の長さは[MATH]\(\frac{2}{3}\)[/MATH]ｍと決まるよね。この[MATH]\(\frac{2}{3}\)[/MATH]ｍは決まった量を表す分数なんだね」と説明します。このようにして、それまでの学習では整数や小数で表せていたものが、整数でも小数でも表せないものがあり、それを分数で表すことができるのだということを体験させていくのです。

このような学習を通して、分数で表すという視点を獲得すると、これまで整数や小数で表していたものも「分数で表すことができるかな」と捉え直していきます。例えば、テープ図を見ながら、｢６÷３は[MATH]\(\frac{6}{3}\)[/MATH]だから２ｍだ」とか「３÷３は[MATH]\(\frac{3}{3}\)[/MATH]だから１ｍだね」などと言って、整数で表すことと分数で表すことがつながっている（同じものだ）ということが理解できます。さらに、｢[MATH]\(\frac{1}{2}\)[/MATH]＝0.5だ」などと言い、整数も小数も分数もつながっている（同じ有理数だ）ということを確認し、数の概念を拡張していくのです。

※

次回は、このように数を捉え直したことを基盤にしながら、分数の加法、減法の授業づくりについて考えていきます。

執筆／教育ジャーナリスト・矢ノ浦勝之

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