小6算数「分数×分数」指導アイデア《乗数の分子が1のときの分数×分数の計算の仕方を考える》
![小6算数「分数×分数」指導アイデア
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執筆/富山県富山市立保内小学校教諭・高井慈美
監修/文部科学省教科調査官・笠井健一、前・富山県南砺市立福光東部小学校校長・中川愼一
![年間指導計画「分数×分数」](https://kyoiku.sho.jp/wp-content/uploads/2024/07/8c04165e7c6a71bb1181addc2317efed.jpg)
目次
単元の展開
第1時(本時)乗数の分子が1のときの(分数)×(分数)の計算の仕方を考える。
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第2時 乗数の分子が1以外のときの(分数)×(分数)の計算の仕方を考える。
▼ 《乗数の分子が1以外のときの分数×分数の計算》
第3時 乗数が仮分数の計算の仕方を考える。
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第4時 帯分数や整数が入った分数のかけ算の計算の仕方を考える。
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第5時 (小数)×(分数)、(分数)×(小数)の計算の仕方を考える。
▼ 《小数と分数が混じったかけ算の仕方》
第6時 1より小さい分数を掛けると、積は被乗数より小さくなることを理解する。
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第7時 (分数)×(分数)×(分数)の計算の仕方を考える。
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第8時 長さが分数で表されている長方形の面積と直方体の体積を求める。
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第9時 交換法則や結合法則、分配法則が、分数の計算にも適用できるか考える。
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第10時 積が1になる乗数を見付け、被乗数の乗数との間のきまりを見付ける。
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第11時 練習問題を解き、学習内容の理解を深める。
本時のねらい
分数×分数(分子が1)の計算について、図や数直線、計算のきまりなどを基にして多面的に考える。
評価規準
分子が1の分数の意味と表現に着目し、分数×分数(分子が1)の計算の意味や計算の仕方を、図や数直線、計算のきまりなどを基にして多面的に捉え考えている。(思考・判断・表現)
本時の展開
1dLで[MATH]\(\frac{4}{5}\)[/MATH]㎡ぬれるペンキがあります。このペンキ[MATH]\(\frac{1}{3}\)[/MATH]dLでは、何㎡ぬれますか。
ペンキ[MATH]\(\frac{1}{3}\)[/MATH]dLでは、何㎡塗ることができるかを求める式は、どんな式になりますか。
もし2dLだったら、[MATH]\(\frac{4}{5}\)[/MATH]㎡の2倍の面積を塗れるから、式は、[MATH]\(\frac{4}{5}\)[/MATH]×2です。
3dLだったら、[MATH]\(\frac{4}{5}\)[/MATH]の3倍の面積を塗れるから、[MATH]\(\frac{4}{5}\)[/MATH]×3。つまり、どちらも、(1dLで塗れる面積)×(ペンキの量)=(塗れる面積)になります。
だから、[MATH]\(\frac{1}{3}\)[/MATH]dLだったら、式は「[MATH]\(\frac{4}{5}\)[/MATH]×[MATH]\(\frac{1}{3}\)[/MATH]」になるね。
数直線図をかいて確認しよう。
![図表1](https://kyoiku.sho.jp/wp-content/uploads/2024/08/3dfef05b4b6f07a6537607ddf5fb64d1.jpg)
数直線図からも、式は[MATH]\(\frac{4}{5}\)[/MATH]×[MATH]\(\frac{1}{3}\)[/MATH]になるね。
でも、掛ける数が分数の計算は初めてだよね。整数だったら、分子に掛ければ計算できたけど。
[MATH]\(\frac{1}{3}\)[/MATH]を掛けるというのは、どういうことになるのかな。
今日は、みんなで、[MATH]\(\frac{4}{5}\)[/MATH]×[MATH]\(\frac{1}{3}\)[/MATH]について考えて、分数に分数を掛ける計算の仕方を考えましょう。
分数×分数(分子が1)の計算の仕方を考えよう。
↓
(そのために)[MATH]\(\frac{4}{5}\)[/MATH]×[MATH]\(\frac{1}{3}\)[/MATH]の計算の仕方を考えよう。
見通し
面積図や数直線図を使って、考えよう。(方法の見通し)
計算のきまりを使って、既習の計算を生かして計算の仕方を考えよう。(方法の見通し)
1より小さい[MATH]\(\frac{1}{3}\)[/MATH]を掛けるので、[MATH]\(\frac{4}{5}\)[/MATH]より小さくなるだろう。(結果の大きさの見通し)
自力解決の様子
A つまずいている子
・[MATH]\(\frac{1}{3}\)[/MATH]を掛けるというイメージをもつことができない。
・面積図を使って考えるために縦に3つに分ける方法を教えてもらうが、それがどのような意味をもっているのか困っている。
B 素朴に解いている子
・[MATH]\(\frac{1}{3}\)[/MATH]を掛けるということは、[MATH]\(\frac{1}{3}\)[/MATH]倍にすることだと考えている。
・[MATH]\(\frac{1}{3}\)[/MATH]倍をすることは、3で割ることと同じだと理解している。
・求める積は掛けられる数の[MATH]\(\frac{1}{3}\)[/MATH]の大きさになりそうだと思っている。
・面積図を使って、15に分けたうちの4つ分になるから、[MATH]\(\frac{4}{15}\)[/MATH]と答えを導き出している。
C ねらい通り解いている子
・面積図を用いて、[MATH]\(\frac{1}{3}\)[/MATH]を掛けるということは、[MATH]\(\frac{1}{3}\)[/MATH]の大きさになるということを基にして、図から[MATH]\(\frac{4}{15}\)[/MATH]と答えを導き出している。
・面積図と式を対応させて、分母どうし、分子どうしを掛けることに気付いている。
・分数×整数の計算に直して答えを確かめている。(掛ける数の[MATH]\(\frac{1}{3}\)[/MATH]を3倍して整数の1にしてから求めて、それを3で割る)
・積の[MATH]\(\frac{4}{15}\)[/MATH]の意味について考えている。([MATH]\(\frac{1}{15}\)[/MATH]の4つ分、[MATH]\(\frac{4}{5}\)[/MATH]の3等分)
学び合いの計画
本単元では、分数を掛ける意味を面積図や数直線図などに表し、分数×分数の計算の仕方とつなげて考えていくことが大切です。そのために、分数×整数や分数÷整数、そして計算のきまりなど、既習事項を活用しながら学び合いを進めていきます。掛ける数が1になる分数のかけ算の仕方を理解することが土台となり、図や計算のきまりを使って、新しい計算を工夫しながら考えていくことの楽しさも感じることができるでしょう。
まず、分数で掛けることの意味を考えるために、数直線図や面積図に[MATH]\(\frac{4}{5}\)[/MATH]×[MATH]\(\frac{1}{3}\)[/MATH]について表しましょう。面積図に分数を掛けることをどのように表すかということはとても難しいです。その際には、みんなで共有できる数直線図や面積図があると、式の意味や計算の仕方の理解につながるでしょう。また、計算のきまりを用いて、計算の仕方を考えていくことの楽しさを感じるためには、式とポイントを分かりやすく板書に表したり、違う数でも追体験できるようにしたりするとよいでしょう。
授業の終末には、1時間で学んだことを自分の言葉でふり返ることが、次の時間の学習へとつながります。ふり返りについても、子供どうしで共有し合うと、算数の楽しさや多様な考えに気付くことができるでしょう。
ノート例
A つまずいている子
![ノート例1](https://kyoiku.sho.jp/wp-content/uploads/2024/08/1ee454e1540b388306895726822280f6.jpg)
B 素朴に解いている子
![ノート例2](https://kyoiku.sho.jp/wp-content/uploads/2024/08/0211261ba5be349a1006363b6724fb63.jpg)
全体発表とそれぞれの考えの関連付け
みんなで、式は[MATH]\(\frac{4}{5}\)[/MATH]×[MATH]\(\frac{1}{3}\)[/MATH]の計算の仕方を考えていきましょう。まず、[MATH]\(\frac{1}{3}\)[/MATH]を掛けるというのはどういうことなのですか。
[MATH]\(\frac{1}{3}\)[/MATH]を掛けるということは、[MATH]\(\frac{1}{3}\)[/MATH]倍にするということです。つまり、3分の1の大きさにすることです。
それは、3つに均等に分けることで、3で割るということだよね。
あれ? 今はかけ算だから、答えは大きくなるんじゃないの。割ると小さくなってしまうよ。
ちょっと待って。小数のかけ算を思い出してみよう。例えば、2×0.3だとすると、0.3は1より小さい数を掛けているから、2の0.3の割合だから、2より小さくなるよ。2×0.3=0.6だよ。
そうだったね。1より小さい数を掛けると、答えは掛ける数よりも小さくなるんだったね。思い出させてくれて、ありがとう。
図に表したら、もっと意味が分かりやすいよ。
[MATH]\(\frac{4}{5}\)[/MATH]㎡には色を塗ることができたけれど、それを3つに分けることができないよ。だって、4つをどうやって3つに横で分ければいいの。難しいな。
![図表2](https://kyoiku.sho.jp/wp-content/uploads/2024/08/848bf4b7742466ca140f16b9a34fdc70.jpg)
友達にいいこと教えてもらったよ。縦に3つに均等に分けるんだって。
縦に。
見て。この図のように縦に3つに分けた1つ分。
![図表3](https://kyoiku.sho.jp/wp-content/uploads/2024/08/ce7e3531dfb745924689c08760ecae80.jpg)
[MATH]\(\frac{4}{12}\)[/MATH]かな。
色の付いているところだけを見るとそうだけど、白いところも考えないといけないでしょ。
白いところも合わせて、1㎡全体を15等分することになります。
まず、青い部分と白いところを合わせて見ます。
![図表4](https://kyoiku.sho.jp/wp-content/uploads/2024/08/6e437607d0ae529dd51af2c60f82edc1.jpg)
青いところは、全体を5つに分けた4つ分です。1㎡の[MATH]\(\frac{4}{5}\)[/MATH]で、[MATH]\(\frac{4}{5}\)[/MATH]㎡です。
そして、これを縦に3等分すると、黄色い部分になります。
黄色い部分は、はじめの青の部分の[MATH]\(\frac{1}{3}\)[/MATH]ですが、赤い部分の4つ分です。
赤い部分は、全体を5等分して、さらに3等分しています。5×3=15で、全体の[MATH]\(\frac{1}{15}\)[/MATH]です。
それが4つだから、[MATH]\(\frac{4}{15}\)[/MATH]になります。
答えは、[MATH]\(\frac{4}{15}\)[/MATH]㎡です。
式で表すと、[MATH]\(\frac{4}{5}\)[/MATH]×[MATH]\(\frac{1}{3}\)[/MATH]=[MATH]\(\frac{4}{5}\)[/MATH]÷3ということです。
なるほど。[MATH]\(\frac{4}{5}\)[/MATH]を3で割ったことと同じだね。
[MATH]\(\frac{4}{5}\)[/MATH]÷3の計算の仕方は習っているよね。[MATH]\(\frac{4}{5}\)[/MATH]÷3=[MATH]\(\frac{4}{5×3}\)[/MATH]=[MATH]\(\frac{4}{15}\)[/MATH]
面積図で考えたことと、3で割るという意味で考えたことがつながったね。
計算のきまりを使って、考えることもできそうだね。
掛ける数を整数にして考えると、掛けられる数を3倍して整数にする。答えも3倍になっている。3倍して考えたので、積の[MATH]\(\frac{4}{5}\)[/MATH]を3で割ると、[MATH]\(\frac{4}{5}\)[/MATH]÷3=[MATH]\(\frac{4}{5×3}\)[/MATH]=[MATH]\(\frac{4}{15}\)[/MATH]となります。
![図表5](https://kyoiku.sho.jp/wp-content/uploads/2024/08/50adeb9497dbb6962fdde33150f89c64.jpg)
面積図で考えたときと、同じ計算の仕方になったね。
両方の考えを合わせると、分数×分数(分子が1)のかけ算は、[MATH]\(\frac{b}{a}\)[/MATH]×[MATH]\(\frac{1}{c}\)[/MATH]=[MATH]\(\frac{b}{a×c}\)[/MATH]となるよ。
○分の1を掛けるということは、○で割るという意味となり、つまり、掛けられる数の分母を掛ける数の分母に掛けることになる。
ちょっと難しかったけど、計算の意味を考えたら、分数×分数の計算の仕方が分かったね。
自分たちで、計算の意味から新しい計算の仕方につなげて考えることができましたね。
学習のまとめ
![図表6](https://kyoiku.sho.jp/wp-content/uploads/2024/08/ec34b99436707b91204c22906747c937.jpg)
評価問題
1dLで[MATH]\(\frac{3}{4}\)[/MATH]㎡ぬれるペンキがあります。このペンキ[MATH]\(\frac{1}{2}\)[/MATH]dLでは、何㎡ぬれますか。
①この問題の答えを求める式をかきましょう。
②この式の計算の仕方を説明しましょう。
子供に期待する解答の具体例
①式は、[MATH]\(\frac{3}{4}\)[/MATH]×[MATH]\(\frac{1}{2}\)[/MATH]
②・(×[MATH]\(\frac{1}{2}\)[/MATH])を(÷2)と置き換えて考える。
・(÷2)は、分母に掛ける。
・[MATH]\(\frac{3}{4}\)[/MATH]÷2=[MATH]\(\frac{3}{4×2}\)[/MATH]=[MATH]\(\frac{3}{8}\)[/MATH]
・塗れる面積は、[MATH]\(\frac{3}{8}\)[/MATH]㎡
※「答えの大きさの正しさ」「計算の方法の正しさ」のみを説明している子には、「帯分数を整数と分数に分けて考える意味」についての説明を加えるようにうながす。
本時の評価規準を達成した子供の具体の姿
[MATH]\(\frac{4}{5}\)[/MATH]×[MATH]\(\frac{1}{3}\)[/MATH]の計算の仕方を基にして、[MATH]\(\frac{3}{4}\)[/MATH]×[MATH]\(\frac{1}{2}\)[/MATH]の計算の仕方について考え、説明している。
感想例
- 「3分の1にすること」は「3で割ること」だから、÷3をすれば計算ができることが分かりました。
- 計算のきまりを使って考えても、面積図を使って考えても、掛ける数の分母の数で割ればよいと分かりました。
- どんな方法で計算の仕方を考えても、同じ計算の仕方になったので、この計算の仕方は数が変わっても使えると考えました。
- 今までに習った計算のきまりを使うと、なぜ3で割るのかということも分かったし、習っていなかった分数のかけ算もできてうれしかったです。
- 分子が1以外の掛ける数の計算もやってみたいです。
- 新しい計算を考えるときは、これまでに学んできた計算とつなげた見方や考え方をすることが大切だと思いました。
コラム
学習の内容の構造
学習の内容を整理して構造的に捉えておくと、子供たちの発言に柔軟に対応できるようになります。本時の学習の内容の構造は、次のように表すことができます。
![図表7](https://kyoiku.sho.jp/wp-content/uploads/2024/08/9b8a19a4cf488daee67e38652d04fc6b-776x1024.jpg)
ワークシート(ダウンロード可)
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板書例
![板書例](https://kyoiku.sho.jp/wp-content/uploads/2024/08/be3d3fb3f1b81b328fe435978bafd089.jpg)
学習指導要領
第6学年 A(1)
A(1)分数の乗法,除法
(1)分数の乗法及び除法に関わる数学的活動を通して,次の事項を身に付けることができるよう指導する。
ア 次のような知識及び技能を身に付けること。
(ア) 乗数や除数が整数や分数である場合も含めて,分数の乗法及び除法の意味について理解すること。
(イ) 分数の乗法及び除法の計算ができること。
(ウ) 分数の乗法及び除法についても,整数の場合と同じ関係や法則が成り立つことを理解すること。 イ 次のような思考力,判断力,表現力等を身に付けること。
「指導と評価の一体化」のための学習評価に関する参考資料
第6学年 A(1)「分数の乗法,除法」
![図表8](https://kyoiku.sho.jp/wp-content/uploads/2024/08/d4b8d318cd339c52411b4050fc274565.jpg)
イラスト/横井智美