小６算数「比と比の利用」指導アイデア《比が等しいことの意味の理解》

特集: 文部科学省教科調査官監修｢教科指導のヒントとアイデア｣

2023.10.19

単元の展開

第１時　ご飯の材料の分量の割合について考える。
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第２時　ご飯の材料の分量の割合について考え、比を用いた割合の表し方、比の値を知る。
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第３時（本時）棒と影の長さの比の値を調べ、２つの比が等しいことの意味を理解する。
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第４時　等しい比が複数あることを見付け、２つの比の間に成り立つ性質について考える。
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第５時　等しい比の性質を使い、同じ濃さの乳酸飲料の量を考える。
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第６時　等しい比の性質を使って、できるだけ小さい整数の比を見付ける。
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第７時　等しい比の性質を利用して、影の長さを基に木の高さを求める。
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第８時　72㎝のリボンを使い、比例配分の意味と計算の仕方を考える。
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第９時　黄金比・白銀比を知り、身の回りのものの比について考える。

本時のねらい

棒と影の長さの関係に着目し、それらの割合を比べる活動を通して、比の相等やその判断の方法を考える。

評価規準

比の値を用いて、２つの比が等しいかどうかを判断することができる。（知識及び技能）

本時の展開

導入の最初の問題では、｢80㎝の棒の長さに対して影の長さが40㎝」という「半分」に着目させるような数値の工夫を取り入れ、同じ時刻では棒の長さと影の長さの比が等しいことを押さえます。次に、別の時刻の場合を示し、影の長さと棒の長さの割合を考えることを通して、比の相等と比の値の関係という本時の主眼へとつなげていきます。

●影の長さが棒の長さの半分の場面を提示

お昼に80㎝の棒をまっすぐに立てて、影の長さを測ったら40㎝でした。

（100㎝の棒の図を提示する）実は100㎝の棒も別に立てていました。影の長さは何㎝になると思いますか。

50㎝になると思います。

なぜですか。

80㎝の棒の半分の長さが影の長さになっているから、100㎝の半分の50㎝だと思いました。

どちらも影の長さが棒の長さの半分になると考えたのですね。その通りで50㎝になりました。次に、影の長さと棒の長さの関係を割合で考えてみましょう。80㎝の棒の長さを基にすると、40㎝の影の長さの割合はいくつになっていますか。

0.5です。

どのようにして分かりましたか。

棒の長さが基にする量で、影の長さが比べる量です。だから、40÷80を計算して0.5になります。

※数直線図も適宜示す。

棒の長さと影の長さの関係を倍という言葉を使って言えますか。

影の長さは棒の長さの0.5倍です。

0.5は[MATH]\(\frac{1}{2}\)[/MATH]に等しいから、影の長さは棒の長さの[MATH]\(\frac{1}{2}\)[/MATH]倍と言ってもよいです。

さっき言っていた半分は、[MATH]\(\frac{1}{2}\)[/MATH]倍とも言えるということですね｡（棒が100㎝の場合も同様に確認する）ところで、今、比の勉強をしていますね。影の長さと棒の長さを比で表してみましょう。影の長さが40㎝、棒の長さが80㎝のときは、比はどうなりますか。

40：80です。

では、棒の長さが100㎝のときは、何対何ですか。

50：100です。

そうですね。同じ時刻に棒を立てたとき、棒の長さが80㎝でも100㎝でも、棒の長さを基にしたときの影の長さの割合はどちらも0.5または[MATH]\(\frac{1}{2}\)[/MATH]だから、40：80と50：100は等しい比と言えますね｡（前の授業までで学習した、表現は異なるが同じ割合を表す比［２：３と４：６など］を想起させる）

※比の順序は、一貫して「影：棒」とし、棒の長さを基にする量、影の長さを比べる量とする。

●影の長さが棒の長さの半分でない場面の提示

実は、夕方の17時にも棒を立てて、影の長さを測ってみました。すると、48㎝の棒の影の長さは84㎝になっていました。

わー、今度は棒の長さより影の長さのほうが長くなったんだね。

影の長さと棒の長さの比は何対何ですか。

84：48です。

そうですね。40㎝の棒も立ててみました｡（①、②、③の棒と影の図を提示し、それらの比を子供と確認する）次の①、②、③のうち、同じ時刻の17時に40㎝の棒を立てたときの図はどれでしょうか。

夕方17時に48㎝のぼうをまっすぐに立てたら、かげの長さは84㎝でした。次の①、②、③のうち、17時のときのぼうとかげを表しているのはどれでしょう。

どのように調べたらよいでしょうか。

さっきやったように、割合や倍を調べるとよいと思います。

前の時間に比の値を学習したので、比の値を調べてみようと思います。

それでは、まずは各自で調べていきましょう。

１人１台端末活用アイデア

棒と影の問題場面を、ロイロノートなどのアプリからカードを児童用タブレットに配信することで、紙のワークシートやカードを作って配る手間を省くことができます。また、それぞれの考えを画面で共有することもできるので、等しい比がどれになるのかを考えていく際の参考にすることができます。

棒の長さと影の長さの割合が等しい場合を調べよう。

自力解決の様子

A　つまずいている子

・影の長さと棒の長さの関係を倍や割合で調べることができない。

Ｂ　素朴に解いている子

・影の長さと棒の長さの関係を倍や割合で求めて正しく判断している。
棒が48㎝、影が84㎝のとき、84÷48＝1.75　影は棒の1.75倍
①棒が40㎝、影が64㎝のとき、64÷40＝1.6 　影は棒の1.6倍
②棒が40㎝、影が70㎝のとき、70÷40＝1.75　影は棒の1.75倍
③棒が40㎝、影が72㎝のとき、72÷40＝1.8 　影は棒の1.8倍
だから、17時のときの図は②。

・比の値を形式的に求めて正しく判断している。
影の長さが84㎝、棒の長さが48㎝のとき、
比は　84：48　比の値　84÷48＝[MATH]\(\frac{84}{48}\)[/MATH]＝[MATH]\(\frac{7}{4}\)[/MATH]
①の比　64：40　比の値　64÷40＝[MATH]\(\frac{64}{40}\)[/MATH]＝[MATH]\(\frac{8}{5}\)[/MATH]
②の比　70：40　比の値　70÷40＝[MATH]\(\frac{70}{40}\)[/MATH]＝[MATH]\(\frac{7}{4}\)[/MATH]
③の比　72：40　比の値　72÷40＝[MATH]\(\frac{72}{40}\)[/MATH]＝[MATH]\(\frac{9}{5}\)[/MATH]
だから、17時のときの図は②。

Ｃ　ねらい通り解いている子

・｢棒の長さに対する影の長さの割合が等しいこと」と「比の値が等しいこと」を関連付け、比の値で判断すればよいことを理解している。

影の長さが84㎝、棒の長さが48㎝のとき、比の値が[MATH]\(\frac{7}{4}\)[/MATH]だから、棒の長さを１と見たときに影の長さは[MATH]\(\frac{7}{4}\)[/MATH]にあたる。②も比の値が[MATH]\(\frac{7}{4}\)[/MATH]で、棒の長さを1と見たときに影の長さが[MATH]\(\frac{7}{4}\)[/MATH]にあたる。だから、17時のときの図は②。