小６算数「分数と整数のかけ算・わり算」指導アイデア《帯分数×整数の計算の仕方を考える》

執筆／富山県高岡市立木津小学校教諭・屋鋪善祐
監修／文部科学省教科調査官・笠井健一、前・富山県南砺市立福光東部小学校校長・中川愼一

単元の展開

第１時　（分数）×（整数）の意味と計算の仕方を考える。
▼　　　《分数×整数の意味と計算の仕方》
第２時（本時）（帯分数）×（整数）の計算の仕方を考える。
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第３時　（分数）÷（整数）の意味と計算の仕方を考える。
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第４時　（分数）÷（整数）の計算の仕方をまとめ、計算する。
▼　　　《分数÷整数の計算の仕方》
第５時　（分数）÷（整数）の計算について、途中で約分するよさを検討する。
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第６時　（帯分数）÷（整数）の計算の仕方を考える。
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第７時　（分数）×（整数）と（分数）÷（整数）の計算の仕方をまとめる。
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第８時　（分数）×（整数）と（分数）÷（整数）の計算を確かめる。

本時のねらい

帯分数に整数を掛ける計算の仕方について考える。

評価規準

真分数に整数を掛ける計算の仕方や分数の意味と表現を基にして、帯分数に整数を掛ける計算の仕方を多面的に捉え考えている。（思考･判断･表現）

本時の展開

次の計算をしましょう。
[MATH]\(\frac{３}{５}\)[/MATH]×４
１[MATH]\(\frac{２}{７}\)[/MATH]×３

学習のねらい

本時の学習のねらい　１[MATH]\(\frac{２}{７}\)[/MATH]×３の計算の仕方を考えよう

学びのなかで焦点化したねらい　どうして１にも[MATH]\(\frac{２}{７}\)[/MATH]にも３を掛けるのだろう。

見通し

自力解決の様子

A　つまずいている子
帯分数の整数の部分はそのままにして、分数の部分にだけ整数を掛けている。
１[MATH]\(\frac{２}{７}\)[/MATH]×３＝１[MATH]\(\frac{６}{７}\)[/MATH]（１[MATH]\(\frac{２×３}{７}\)[/MATH]）

Ｂ　素朴に解いている子
帯分数の整数の部分に整数を掛け、分数の部分の分子に整数を掛けている。
１[MATH]\(\frac{２}{７}\)[/MATH]×３＝３[MATH]\(\frac{６}{７}\)[/MATH]（１×３[MATH]\(\frac{２×３}{７}\)[/MATH]）

Ｃ　ねらい通り解いている子
帯分数の整数の部分に整数を掛け、分数の部分の分子に整数を掛けている。
１[MATH]\(\frac{２}{７}\)[/MATH]×３＝３[MATH]\(\frac{６}{７}\)[/MATH]（１×３[MATH]\(\frac{２×３}{７}\)[/MATH]）

さらに、帯分数の整数の部分と分数の部分はたし算の関係にあるという数の構造に着目し、なぜ分数の部分だけでなく整数の部分にも掛ける必要があるのか説明している。
１[MATH]\(\frac{２}{７}\)[/MATH]×３＝（１＋[MATH]\(\frac{２}{７}\)[/MATH]）×３＝１×３＋[MATH]\(\frac{２}{７}\)[/MATH]×３＝３＋[MATH]\(\frac{２×３}{７}\)[/MATH]＝３[MATH]\(\frac{６}{７}\)[/MATH]

また、帯分数を仮分数に直して計算し、整数の部分に掛けることの正しさを説明している。
１[MATH]\(\frac{２}{７}\)[/MATH]×３＝[MATH]\(\frac{９}{７}\)[/MATH]×３＝[MATH]\(\frac{27}{７}\)[/MATH]＝３[MATH]\(\frac{６}{７}\)[/MATH]　

学び合いの計画

前時と違って本時は、帯分数を含んだ分数の計算です。子供がつまずきやすいのは、｢１ [MATH]\(\frac{２}{７}\)[/MATH]×３＝1[MATH]\(\frac{６}{７}\)[/MATH]（１[MATH]\(\frac{２×３}{７}\)[/MATH]」など、帯分数の整数の部分はそのままにして、分数の部分だけ計算してしまうところです。そこで大切にしたいのは、｢どうして、整数の部分（１）にも３を掛けないといけないのか」という疑問に立ち止まり、互いに納得できるように表現し合う場を設けることです。

帯分数の整数の部分と分数の部分がたし算の関係で結ばれていることを、｢１[MATH]\(\frac{２}{７}\)[/MATH]×３＝（１＋[MATH]\(\frac{２}{７}\)[/MATH]）×３＝１×３＋[MATH]\(\frac{２}{７}\)[/MATH]×３＝３＋[MATH]\(\frac{２×３}{７}\)[/MATH]＝3[MATH]\(\frac{６}{７}\)[/MATH]」の式に表して数の構造に着目したり、帯分数１[MATH]\(\frac{２}{７}\)[/MATH]を仮分数[MATH]\(\frac{９}{７}\)[/MATH]に直して計算し、大きさが変わらないことを確認し合ったりすると効果的です。

子供一人一人が根拠を示しながら自分の考えを語り、互いに考えを理解し合って、考えを深めていく学び合いの場を大切にしましょう。

ノート例

Ａ　つまずいている子

Ｂ　素朴に解いている子

全体発表とそれぞれの考えの関連付け

学びのなかで焦点化したねらい　どうして１にも[MATH]\(\frac{２}{７}\)[/MATH]にも３を掛けるのだろう。

学習のまとめ

１[MATH]\(\frac{２}{７}\)[/MATH]×３の計算は、

・１[MATH]\(\frac{２}{７}\)[/MATH]を１＋[MATH]\(\frac{２}{７}\)[/MATH]と考え、仮分数の分数の部分だけでなく整数の部分にも３を掛けて計算すればよい。
・帯分数の1[MATH]\(\frac{２}{７}\)[/MATH]を仮分数の[MATH]\(\frac{９}{７}\)[/MATH]に直してから計算すればよい。

帯分数に整数を掛ける計算は、
・帯分数の整数の部分に整数を掛け、分数の部分の分子に整数を掛けて計算すればよい。
・帯分数を仮分数に直してから計算すればよい。

どうしてかというと、帯分数の整数の部分と真分数の部分がたし算の構造だから

評価問題

次の①～⑥までのなかから１つを選んで、｢1[MATH]\(\frac{１}{５}\)[/MATH]×２＝2[MATH]\(\frac{２}{５}\)[/MATH]」の説明をしましょう。

①１[MATH]\(\frac{１}{５}\)[/MATH] ＋ １[MATH]\(\frac{１}{５}\)[/MATH] ＝ 2[MATH]\(\frac{２}{５}\)[/MATH]

②1.2 ×２＝ 2.4

③[MATH]\(\frac{６}{５}\)[/MATH] × 2 ＝ [MATH]\(\frac{12}{５}\)[/MATH] ＝ 2[MATH]\(\frac{２}{５}\)[/MATH]

④

⑤

⑥

子供に期待する解答の具体例

＜例１＞
１[MATH]\(\frac{１}{５}\)[/MATH]×２は、１[MATH]\(\frac{１}{５}\)[/MATH]＋１[MATH]\(\frac{１}{５}\)[/MATH]と同じです。

１[MATH]\(\frac{１}{５}\)[/MATH]＋１[MATH]\(\frac{１}{５}\)[/MATH]＝２[MATH]\(\frac{２}{５}\)[/MATH]なので、１[MATH]\(\frac{１}{５}\)[/MATH]×２＝２[MATH]\(\frac{２}{５}\)[/MATH]です。

＜例２＞
１Ｌの２倍は２Ｌ、[MATH]\(\frac{１}{５}\)[/MATH]Ｌの２倍は[MATH]\(\frac{２}{５}\)[/MATH]Ｌです。合わせて、２[MATH]\(\frac{２}{５}\)[/MATH]Ｌです。

※｢答えの大きさの正しさ｣｢計算の方法の正しさ｣のみを説明している子には、｢帯分数を整数と分数に分けて考える意味」についての説明を加えるようにうながす。

本時の評価規準を達成した子供の具体の姿

真分数に整数を掛ける計算の仕方や分数の意味と表現を基にして、帯分数に整数を掛ける計算の仕方を多面的に捉え考えている。

感想例

• 帯分数に整数を掛けるときは、帯分数の整数の部分と分数の部分を分けて計算するとよいことが分りました。
• 帯分数がある計算は、帯分数を仮分数に直してから計算すると、答えの大きさを確かめられることが分かりました。
• 計算の仕方が正しいことや答えの大きさが正しいことだけでなく、どうしてそうしたほうが正しいのかを説明することが大切なんだと考えました。
• 最初は、帯分数の分数の部分だけに掛ける数を掛けていたけれど、友達の図を使った説明を聞いて、帯分数の整数の部分にも掛ける数を掛けないと正確に計算できていないことに気付きました。図を使って考えると、頭がすっきりする感じがします。
• 今度は掛ける数が帯分数の場合や、帯分数に分数を掛ける場合も考えてみたいです。
• 帯分数の整数の部分と分数の部分は小数のようにたし算の関係にあるので、分数の部分だけでなく整数の部分にも掛ける必要があるのだと納得しました。

ワークシートPDFと板書例

イラスト／横井智美