小６算数「場合の数」指導アイデア《表や図を用いて、組み合わせを考える》

特集: 文部科学省教科調査官監修｢教科指導のヒントとアイデア｣

2024.07.30

単元の展開

第１時　表や図を用いて、リレー選手の並び方が何通りあるかを、落ちや重なりなく調べる方法を考える。
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第２時　条件がある場合（４枚から３枚を選ぶなど）の並べ方が何通りあるかを考える。
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第３時　輪投げして３回投げたときのすべての結果を、◯と×を用いて表す。
▼　　　《重複がある並びの整理の仕方》
第４時　表や図を用いて、アイスクリームの組み合わせを落ちや重なりなく調べる方法を考える。
▼　　　《組み合わせを落ちや重なりなく調べる方法》
第５時（本時）表や図を用いて、５種類のお菓子から２種類、または４種類を選ぶ組み合わせを考える。
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第６時　組み合わせの考え方を用いて、身の回りの事象（レストランでのメニューの選び方など）について考える。
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第７時　練習問題を解いたり、８チームによるトーナメント戦の総試合数について考えたりする。
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第８時　練習問題を解き、学習内容に対する理解を深める。

本時のねらい

（４種類から２種類を選ぶ組み合わせを落ちや重なりなく調べる方法を考え、求めることができるようになった後）

５種類のアイスクリームから４種類を選ぶ組み合わせについて、事象の特徴に着目し、図や表を用いて、落ちや重なりなく調べる方法を順序よく筋道立てて考える。

評価規準

｢５種類から４種類を選ぶ組み合わせ」について、図や表を用いて順序よく筋道立てて考え、｢５種類から１種類を選ばない組み合わせ」と同じであることを、事象の特徴に着目し、筋道立てて考え、説明している。（思考・判断・表現）

本時の展開

食べ放題のアイスクリームコーナーに来ました。
５種類の味（バニラ・チョコ・オレンジ・メロン・ストロベリー）からちがう味の２種類を食べます。選び方は、全部で何通りですか。

※問題１の「食べ放題のアイスクリームコーナーに来ました」まで提示する。

昨日の問題場面と同じだね。選ぶ組み合わせ方が何通りか求めるときは、食べる順番は関係ないから､（バニラ・チョコ）と（チョコ・バニラ）は同じ組み合わせ方になるのだったね。

※問題１をすべて提示する。

２種類選ぶところは昨日の問題と同じだけど、４種類から５種類に増えているところは違うね。

４種類から２種類の選び方は全部で６通り。５種類に増えたから、６通りよりも多くなりそう。

５種類に増えても、表や対戦表に表せば、落ちや重なりなく調べることができるよ。

そうだね。でも、対角線図はどうなるのかな。

４種類から２種類選ぶときは四角形だったね。今日の問題は、５種類から２種類を選ぶのだから、五角形の辺と対角線の数が選び方の通りになるよ。

では、表や対戦表、対角線図に表して、５種類から２種類を選ぶ組み合わせ方が全部で何通りあるか調べてみましょう。

※自力解決する。
※自力解決の際にノートに書いた考え方をICT機器で大きく提示する。

全部で10通りです。

予想通り、６通りよりも多くなったね。

表や対戦表、対角線図、どの方法で調べても10通りになりましたね。では、この場合は何通りになりますか。

※問題２を提示する。

食べ放題のアイスクリームコーナーに来ました。
５種類の味（バニラ・チョコ・オレンジ・メロン・ストロベリー）からちがう味の４種類を食べます。選び方は、全部で何通りですか。

今度は５種類は同じだけど、４種類も選ぶ問題だよ。

４種類も選べるのだから、組み合わせ方は10通りよりも多くなるよね。

そうかなあ。逆じゃないかな。５種類のなかから４種類も選ぶから、パターンは限られてくるよ。だから、10種類よりも少なくなると思うよ。

どっちだろう。表や対戦表、対角線図で調べてみようよ。

今回の「５種類から４種類選ぶ組み合わせ」も、表や対戦表、対角線図で調べることができそうですか。

あっ！　対戦表ではできません。だって、対戦表は、表の縦と横に種類を書いて、交わったところがその組み合わせになります。だから、｢２種類の味を選ぶ組み合わせ」や「対戦する２つのチームを選ぶ組み合わせ」のように、２つを選ぶ組み合わせのときしか使えません。

確かにそうだね。だったら、対角線図でもできないね。

表だったらできそうだよ。順序よく規則に従って調べてみよう。

５種類から２種類を選ぶ方法について調べたことを基にして、５種類から４種類を選ぶ方法が何通りあるのか考えよう。

見通し

２種類選ぶときと同じように、表を用いて順序よく規則に従って調べよう。（方法の見通し）

２種類を選ぶとき（10通り）よりも少なく（多く）なると思う。（結果の大きさの見通しなど）

自力解決の様子

A　つまずいている子
２種類選ぶ組み合わせ方は10通り。その２倍である４種類を選ぶのだから、20通りぐらいではないかと考えている。

Ｂ　素朴に解いている子
表を用いて調べている。まずはＡを固定して考え、順序よく規則に従って調べ、５通りを導き出している。

Ｃ　ねらい通り解いている子
表を用いて調べている。まずはＡを固定して考え、順序よく規則に従って調べ、５通りを導き出している。さらに、その表を観察して、○がついていないところの場合の数も５通りになっていることから、｢５種類の味から４つの違う種類の味を選ぶ」のは、｢５種類の味から１種類の味を選ばない」と考えることもできると気付いている。選ぶ種類が多い場合は、見方を変えることで簡単に調べられると考えている。

学び合いの計画

本時は、｢５種類の味から４つの違う種類の味を選ぶ」場合の数を求める問題場面です。前時や問題１で学習した既習事項と本時の問題２の似ているところや異なるところを明確にすることで、本時の問題場面も表を用いて順序よく規則に従って調べることで求めることができることを見いだしていきます。

さらに、｢５種類の味から４つの違う種類の味を選ぶ」場合の数を求めた後、用いた表をよく観察し、気付いたことを話し合う場を設けることも大切です。そうすることで、｢５種類の味から４つの違う種類の味を選ぶ」のは、｢５種類の味から１種類の味を選ばない」と考えることもできると気付いていきます。そして、選ぶ種類が多い場合は、見方を変えることで簡単に調べられることに気付き、活用する力を高めていきます。