小6算数「場合の数」指導アイデア

特集
【文部科学省教科調査官監修】1人1台端末時代の教科指導ヒントとアイデア
小六算数タイトル「場合の数」

執筆/新潟県新潟市立浜浦小学校教諭・樋浦教之
監修/文部科学省教科調査官・笠井健一
 新潟県新潟市立新津第一小学校校長・間嶋 哲

単元の展開

第1時 表や図を用いて、リレー選手の並び方がなん通りあるかを、落ちや重なりなく調べる方法を考える。

第2時 条件がある場合(4枚から3枚を選ぶなど)の並べ方がなん通りあるかを考える。

第3時 輪投げして3回投げたときのすべての結果を、◯と×を用いて表す。

第4時(本時)表や図を用いて、アイスクリームの組み合わせを落ちや重なりなく調べる方法を考える。

第5時 表や図を用いて、5種類のお菓子から2種類、または4種類を選ぶ組み合わせを考える。

第6時 組み合わせの考え方を用いて、身の回りの事象(レストランでのメニューの選び方など)について考える。

第7時 練習問題を解いたり、8チームによるトーナメント戦の総試合数について考えたりする。

第8時 練習問題を解き、学習内容に対する理解を深める。

本時のねらい

4種類のアイスクリームから2種類を選ぶ組み合わせについて、順序性がある問題と比較して問題の特徴に気付いたり、図や表を用いたりすることを通して、落ちや重なりなく調べる方法について説明している。

評価規準

順序性がある問題場面との違いに気付いたうえで、4種類のアイスクリームから2種類を選ぶ組み合わせをいくつかの図や表を用いて求めることができる。



食べ放題のアイスクリームコーナーに来ました。4種類の味(バニラ・チョコ・オレンジ・メロン)から2種類を食べます。
(            )は、全部でなん通りですか。
※( )の中には、いろいろな言葉が入ることを伝えましょう。

(     )の中には、「アイスを食べる順番」という言葉が入ります。答えを求めてみよう。

これまでの問題と同じだ。図や表を使って求めることができます。

答えが分かりました。12通りです。

12通りという答えで合っていますか。

合っています。僕は、図を使って考えました。

図1

最初にバニラアイスを1回目にしたときが3通りだと分かれば、3×4という計算でも分かるね。

私は、表でも考えてみたよ。

表1

※バ:バニラ、チ:チョコ、オ:オレンジ、メ:メロン

次は、(    )の中に、「アイスの組み合わせ」という言葉が入ります。答えは、なん通りでしょう。

えっ!? 数字は変わってないから、12通りで変わらないと思うけど……。

でも、さっきは「順番」で、今度は「組み合わせ」だよ。だから、答えも違うかもしれない。

「食べる順番」のときとは違って、みんなの意見がまとまりませんね。それでは、今の皆さんの考えについてロイロノートのテキストに書いて提出してください。「12通りでよい」という考えの人は、赤いテキストを提出します。「12通りではない」という考えの人は、青いテキストを提出します。「どちらか決めることができない」という人は、黄色のテキストを提出しましょう。理由がある人はテキストに書いてください。

1人1台端末活用ポイント①

ロイロノートの「テキスト」「提出箱」で学級全体の意見を確認します。「さまざまな考えがある」ということを学級全体で共有することで、「みんなではっきりさせなければいけない問題」という意識を高めます。

提出された意見を見ると、いろいろな意見がありますね。それでは、「組み合わせ」のときは、12通りという答えでよいかどうか、みんなで考えてみましょう。



(    )の中が、「組み合わせ」に変わっても、答えは12通りのままなのか?

見通し

「順番」というときは、「バニラ・チョコ」と「チョコ・バニラ」という並び方は違う並び方ですね。

ポイント1

この発言が出なければ、『並び方のときは、「バニラ・チョコ」と「チョコ・バニラ」は違ったよね』と教師が確認しましょう。この認識を子供たちにしっかりと確認してもらうことが重要です。

バニラを食べてからチョコを食べることと、チョコを食べてからバニラを食べることは違うよね。

今の問題は「組み合わせ」だよね。「チョコ・バニラ」と「バニラ・チョコ」は違うのかな。

「組み合わせ」だと、食べる順番は関係ないから、12通りではないかもしれない。

※この発言が出たら、自力解決に向かわせましょう。

それでは図や表を使って、「組み合わせ」のときはなん通りになるか、調べてみましょう。

自力解決の様子

A つまずいている子

「食べる順番は関係ない」という発言の意味に気付かずに、「アイスを食べる順番」のときと同じ図や表をかいて、そこから解決が進んでいない。


B 素朴に解いている子

「アイスを食べる順番」の場合を求めたときと同じ図や表をかき、「同じ組み合わせが2つある」ことに気付いているが、片方を消すということに自信がもてず、「片方を消してよいのか」について悩んでいる。


C ねらい通り解いている子

「アイスを食べる順番」の場合を求めたときと同じ図や表をかき、「同じ組み合わせが2つあること」に気付き、同じ組み合わせの片方を消すことができている。

学び合いの計画

次の視点を子供たちに示して、グループごとに話合い活動に取り組ませます。

①「食べる順番は関係ない」とは、どういうことか。
② ①のことについて、図や表には、どのように表したらよいのか。

①や②のことについて困っていることがある人は、話合いのはじめに班のメンバーに伝えるように指示を出しましょう。このことにより、班のなかでA段階の子供がもっている「食べる順番は関係ないのかな」という思いに、B段階もしくはC段階の子供が寄り添いながら、話合いを進めることが期待できます。

また、B段階の子供の思いについても、C段階の子供が寄り添うことも期待できます。もし班のなかにC段階の子供がいない場合は、全体発表の際にその思いを発言できるような場を設定します。

ノート例

ノート例

全体発表とそれぞれの考えの関連付け

それでは、各グループで話し合ったことについて、みんなで確認しましょう。まずは、①の「食べる順番は関係ない」ということです。結論がはっきりしないグループはありましたか。

ポイント2

話し合った結果、分からないことがあるグループには、そのことについて発表してもらいます。このことにより、グループの思いを全体で解決しようとする子供たちの姿を引き出すことができます。

大丈夫です。①のことはよく分かりました。

では、①に対する各班の考えを聞かせてください。

「食べる順番」のときは、例えば「バニラ・チョコ」「チョコ・バニラ」という場合は、別の並び方でした。でも、「組み合わせ」の場合は、食べる順番のことは問題と関係ありません。

「組み合わせ」だから、「バニラ・チョコ」「チョコ・バニラ」は同じ組み合わせということです。

次に、②のことについて確認しましょう。結論がはっきりしないグループはありましたか。

僕たちのグループは、「同じ組み合わせ」が2つあることは分かりましたが、そこからどうしたらよいか、分からなくなってしまいました。

このグループが困っていることを解決してあげたいですね。何かよいアイディアはありますか。

同じ組み合わせが2つあるんだから、片方は必要ありません。だから、図のなかにある同じ組み合わせの片方を消せばいいと思います。。

図2

表のときも同じようにすることができるよ。

表2

なるほど。やり方が分かった。ほかにも同じ組み合わせがいくつもあるから、片方を消してみよう。

それでは、図や表のなかにある同じ組み合わせの片方を消していない人は消してみましょう。

図3
表3

組み合わせは、全部でなん通りになりましたか。

全部で6通りになりました。

こんな表や図でも、2種類の組み合わせを調べることができます。皆さんのロイロノートに送ります。これらの表や図を使って、6通りだということを確かめてみましょう。

1人1台端末活用ポイント②

以下のような表や図をロイロノートの「送る」機能を用いて、子供たちのタブレットに送信します。このことにより、多様な解決方法に触れることができます。

図4

ポイント3

使い方が分からない人は、同じグループの人に相談するように伝えます。また、この活動は授業の時間が残り少ない場合(10分以下)は、次の時間に行っても構いません。

図5

先生が送ってくれた表や図を使っても、6通りになります。

答えは6通りでした。「アイスを食べる順番」と「組み合わせ」の違いはどんなことでしたか。

「組み合わせ」は、「アイスを食べる順番」と比べると、同じ組み合わせがあったら片方を消すことが違います。



「組み合わせ」のときは12通りではない。同じ組み合わせの片方を消して、答えは6通り。

評価問題

A、B、C、D、Eという5つのドッジボールのチームがあります。2チームずつ試合をしていきます。どのチームとも1回ずつ試合をすると、全部でなん試合になりますか。また、求め方を文章で説明しましょう。

子供に期待する解答の具体例

(求め方)
対戦表を使って求めました。同じ試合の組み合わせは、片方は試合数に数えません。だから、答えは10試合です。

表4

ポイント4

本時の学習で出された表や図を用意しておき、どれか1つを使わせます。

感想

最初「アイスを食べる順番」と「組み合わせ」にどんな違いがあるのか、よく分かりませんでした。でも、みんなが「食べる順番は関係ない」「片方を消す」と話しているのを聞いて、同じ組み合わせの片方を消すことが分かりました。

イラスト/横井智美

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