小5算数「割合」指導アイデア《割合を用いた二つの数量の比べ方》

特集: 【文部科学省教科調査官監修】1人1台端末時代の｢教科指導のヒントとアイデア｣

2022.10.15

単元の展開

第１時　シュートの入った回数とシュートした回数の関係に着目し、一番よく成功した人の比べ方を考える。
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第２時（本時）シュートの入った回数とシュートした回数の関係に着目し、倍の意味を基にして、割合を用いた二つの数量の関係の比べ方について考える。
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第３時　二つの数量の関係に着目し、百分率や歩合での表し方を考える。
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第４時　基準量、比較量、割合の関係に着目し、基準量と割合から比較量を求める方法を考える。
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第５時　基準量、比較量、割合の関係に着目し、比較量と割合から基準量を求める方法を考える。
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第６時　割合の適用問題に取り組む。
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第７時　和や差を含んだ割合の表現に着目し、基準量と割合から比較量を求める方法を考える。
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第８時　学習内容の生活への活用
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第９時　学習内容の習熟・定着

本時のねらい

シュートの入った回数とシュートした回数という二つの数量の関係に着目し、どのチームが一番シュートが成功したかを考える活動を通して、基準量を1と見たときに、比較量がどれだけに当たるかで比べる方法について考える。

評価規準

二つの数量の関係を比べるときに、全体を１と見て、部分の大きさを表して比べることができる。（知識・技能）

本時の展開

※本時の前の時間では、プロローグとして、次のような学習を位置付けておきます。ここでは、概略だけ記します。

下の表で、だれが、シュートが一番よく成功したと言えるかについて考えていきます。

授業の導入では、これらの表をすべて提示するのではなく、まず入った回数だけを提示します。そして、どのチームが一番よく成功したかを決めるためには、入った回数だけではなく、「入った回数」と「シュートした回数」という二つの数量に着目して、それらの量の関係を考える必要があることに気付かせます。

ＢさんとＣさんは、Ａさんより成功しています。

入った数が多くても、投げた数が多いと、よく成功したとは言えないと思います。

そして、次のようなことを理解させ、プロローグとします。

シュートのうまさを調べるためには、「入った数」と「シュートした回数」の二つの数量から判断しないといけない。
ＡさんとＢさんを比較すると、シュートした回数が同じなので、入った回数の多いＢさんのほうが成功している。
ＢさんとＣさんを比較すると、入った回数が同じなので、シュートした回数が少ないＣさんのほうが成功している。
Ｂさんはちょうど半分入っている。Ｃさんの入った回数は半分より多いので、ＢさんとＣさんでは、Ｃさんのほうが成功している。また、Ａさんの入った回数は半分より少ないので、ＡさんとＢさんだとＢさんのほうが成功している。

※本時では、次の場面を考えます。

㋐・㋑・㋒・㋓の四つのチームでバスケットボールの試合をしました。シュートが一番よく成功したと言えるのは、どのチームになりますか。試合でのシュートの記録は、以下の表のとおりです。

導入ではまず、前時のプロローグで、「だれが、シュートが一番よく成功したと言えるか」を考えたことを想起させながら、本時の問題を提示し、「どのチームが、シュートが一番よく成功したと言えるか」を本時も考えていくことを全体で確認します。

チーム名をクラスの班に変えたりすることで、より問題場面に興味をもたせることもできます。

表を提示する際には、はじめから結果をすべて提示せず、各チームの結果をプレゼンテーションで少しずつ提示することで、結果に興味をもたせながら、それぞれの数値に着目させていきます。

前回、バスケットボールの練習で、「だれが、シュートが一番よく成功したと言えるか」について考えましたね。今日は、その後の試合のシュート結果になります。

※プレゼンテーションを使って、場面を段階的に提示する。

どのチームが、シュートが一番よく成功したと言えますか。

○が一番多そうな㋓チームかな。

この表だと分かりにくいから、もっと見やすく整理したいな。

それでは、それぞれのチームのシュート記録を見て、前時のように「入った数」「シュートした数」を表に整理してみましょう。

※下記の表に整理させる。

このなかで、すぐに比べられるチームはありますか。

㋑チームと㋒チームです。

なぜ、㋑チームと㋒チームはすぐに比べられるのですか。

㋑チームと㋒チームでは、シュートした回数が同じなので、入った数で比べると、㋒チームが多いからです。

同じような考え方で、ほかにもすぐに比べられるチームはありますか。

㋐チームと㋑チームです。㋐チームと㋑チームでは、入った数が同じなので、シュートした数が少ない㋐チームのほうが、よく成功したと言えます。

では、㋐チームと㋒チームと㋓チームでは、どのチームが一番よく成功したと言えますか。

入った数もシュートした数も違うので、すぐには比べられません。どうすればいいかな。

では、今日はそれをみんなで考えましょう。

入った数もシュートした数も違うときの比べ方を考えよう。

見通し

前時で学習した、「半分より多い・少ない」という考えを想起させます。

㋐チームに着目し、半分入っていることを倍で表現していくことを通して、「入った数はシュートした数の何倍」という見方で、半分より多く入っている㋒チームと㋓チームの比べ方に絞って考えるように方向付けます。

前の時間でちょうど半分入っているチームがありました。㋐チームと㋒チームと㋓チームの三つのなかで、ちょうど半分入っているチームはありますか。

㋐チームです。

「半分入っている」ということを８回や４回という数を使って言えますか。

８回の半分の４回入っています。

今度は倍という言葉を使って言えますか。

８回は４回の２倍になっています。

その通りです。４回を基にすると８回は２倍に当たりますね。それでは８回を基にするとどのように言えますか。

４回は８回の0.5倍になっています。

４回や８回を入った数やシュートした数という言葉で置き換えて言えますか。

入った回数はシュートした回数の0.5倍です。

0.5倍ということを数直線で確認してみましょう。シュートした回数８回と、入った回数４回をまず書きます。

0.5は、どちらの□に入れたらよいでしょうか。（子供とやりとりしながら、進める）

４回が0.5倍に当たるから、４の下の□が0.5だと思います。

８の下の□には何が入りますか。

1だと思います。

どうして1が入るか説明できますか。

８は４の２倍だから、0.5を２倍して１になると思いました。

８回を基にすると、４回が0.5倍になるんだから、８の下に1を書かないといけないと思います。

なるほど。基にする回数を1と見るのですね。

この数直線はシュートした回数を1と見ると、入った数が0.5に当たることを表していますね。ところで、さっきから0.5倍、0.5倍と言ってますが、0.5は４と８から計算で求めることはできますか。

４÷８を計算すれば0.5になります。

入った数の４をシュートした回数の８で割ると、入った数がシュートした数の0.5倍であることが求められるんですね。これで㋐チームについては図でも式でも表せました。次に、㋒チームと㋓チームは半分入った㋐チームより、よく入っていると言えますか。

㋒チームは10回シュートして８回入っています。10回の半分の５回より多く入っています。

㋓チームは12回シュートして９回入っています。12回の半分の６回より多く入っています。

どちらも半分より多く入っていることは分かりました。それでは、㋒チームと㋓チームについて、どちらがよく入っているか、比べ方を考えて、ノートに書いてみましょう。

自力解決の様子

A つまずいている子

入っていない数の差で比べている。
㋒チーム　10－８＝２
㋓チーム　12－９＝３　　
答え　㋒チーム

Ｂ素朴に解いている子

シュートした数を最小公倍数でそろえて比べている。
㋒チーム　10×６＝60（シュートした数）
　　　　　８×６＝48（入った数）
㋓チーム　12×５＝60（シュートした数）
　　　　　９×５＝40（入った数）　　
答え　㋒チーム

Ｃねらい通り解いている子

シュートした数を１にそろえて比べている。
㋒チーム　８÷10＝0.8
㋓チーム　９÷12＝0.75
答え　㋒チーム

学び合いの計画

自力解決のときに、１人１台端末を活用して、自分の考えをクラス内で共有できるようにしておくことで、互いの解決方法を見合いながら、さまざまな解決方法に気付いたり、実際に試したりできるようにしておきます。

全体交流では、Ａ、Ｂ、Ｃの解決方法を板書などで掲示して、Ａ、Ｂ、Ｃの順番に取り上げていきます。Ａの考え方を扱う際には、極端な例を考えて、ひき算では比べられないことをまずは確認します。

その後、これまでの学習での比べ方に立ち返り、「どちらかをそろえると比べられる」ことを改めて確認します。そして、「シュート数をそろえている」という点で共通しているＢの考え方とＣの考え方を、「簡潔さ」の観点から話し合っていきます。

それぞれの解決方法を確認した後、「簡潔さ」を観点に話し合うことで、問題の数値が大きくなった場合や比べる対象が多い場合は、Ｂの考え方（最小公倍数）でそろえるよりも、1あたりにそろえたほうが容易であることに気付かせ、割合で比べるよさを実感できるようにします。

ノート例

全体発表とそれぞれの考えの関連付け

※Ａの考えを発表させた後

Ａの考え方で10－８＝２や12－９＝３を計算していますが、計算の結果の２や３は何を表しているのでしょう。

入らなかった数だと思います。

そうですね。㋒チームは２回、㋓チームは３回入らなかったことが分かりますね。では、失敗が少ない㋒チームのほうがよく入ったと言えませんか。

確かにそうだけど、㋒チームと㋓チームでは、シュートした数が違うから、やっぱり比べられないと思います。

例えば、100回中に98回入った場合は100－98＝２だから、㋒チームと同じぐらい入っていると言えませんか。

おかしいと思います。10回で2回失敗するのと、100回もシュートして２回しか失敗しないのではうまさが違うと思います。

100回シュートして98回入ったほうがうまいと思います。

ほかにもあります。２回シュートして1回も入らないときも、２－０＝２になります。10回のうち８回入ったほうがうまいと思います。

どうやら差では比べられないようですね。やっぱり、シュートした回数がそろっていなければ、入った数で比べることができないようですね。では、Ｂさんの考えを見ていきましょう。

※Ｂの考えを発表させた後

Ｂの考え方で工夫しているところはどこでしょうか。

シュートした数を60にそろえているところです。

60にそろえたらよいことは、どうやって分かりましたか。

10と12の最小公倍数だからだと思います。

※以下、Ｂの方法をクラス全体で確認する。

㋒チームの場合、入った数を６倍したのはどうしてですか。

シュートした数を60にそろえるために、10を６倍しました。だから、入った数も６倍しないとおかしいと思います。

シュートした数と入った数に同じ数を掛けたとき、うまさは比べられると言ってよいでしょうか。まず「半分」で確認しましょう。あるチームは、10回シュートして５回入っていました。シュートした回数と入った数を６倍しても同じくらい成功していると言えますか。

シュートした回数と入った数をどちらも６倍すると、シュートの数は60回、入った数は30回になります。30は60の半分だから、同じぐらい成功していると言えると思います。

さっきのひき算の考えのときに、100回中98回と10回中８回はうまさが違うと皆さん言ってましたね。この倍々の考えのときは、シュートの回数が100回のときもうまくいきますか。

50は100の半分なので、100回のときも同じぐらい成功していると思います。

㋒チームのシュートした回数を100回にした場合を考えましょう。（ペアで考えさせてもよい）

次に、倍で考えている方法を説明してもらいます。

どうして８を10で割ったのか、半分の㋐チームのときのように、詳しく説明できますか。

半分のときのように数直線で考えます。

８の下ではなく、10の下に1を入れたのはどうしてですか。

シュートの回数を基にしているからです。

そうでしたね。シュートの回数10を1と見たときに、８がいくつに当たるかを求めたいのですね。続けて、式が8÷10になるわけを説明してください。

半分のときは、４÷８を計算しました。だから、㋒チームは8÷10を計算して0.8になります。

基にする数で割ればよいので、8÷10になります。

入った回数、シュートした回数という言葉を使うとどんなわり算をしていますか。

どちらも「入った回数」÷「シュートした回数」をしています。

どちらがどちらの何倍になりますか。

入った回数がシュートした回数の0.8倍になっています。

さっき、10回シュートして８回入る場合と、両方が10倍になっている100回シュートして80回入る場合では、同じぐらい成功していることを確認しました。ここでも同じになるか確認してみましょう。

この場合も、入った回数がシュートした回数の0.8倍になっています。

それでは、㋓チームも同じように数直線と式を書いて、同じようにして入った数がシュートした数の何倍か求めてみましょう。（個人で取り組ませ、ペアで確認させる）

どちらのチームのほうがよく入っていると言えますか。

㋓チームです。

ＢさんとＣさんの考えで似ているところや違っているところはありますか。

Ｂさんの考え方は公倍数でそろえていて、Ｃさんの考え方はわり算でそろえています。

Ｂさんの考え方は、シュートした数を60にそろえていますが、Ｃさんはそうではありません。

Ｃさんの考え方は、シュートした数を１にそろえていると思います。

数直線を見ると、入った数を1にそろえていると言えますね。さて、どちらの方法でも㋒チームのほうがよく入っていることが分かりました。今日の問題よりも数値が大きくなった場合は、皆さんはどちらの考え方で比べますか。例えば、別の㋔チームのシュートが入った回数が75回で、シュートした回数が125回だったらどうですか。

Ｂさんの考え方だと、最小公倍数を見付けるのが大変です。

Ｃさんの考え方だと、㋔チームは、75÷125をすれば、簡単にほかのチームと比べることができます。

この式もシュートした回数125を基にして考えて、入った回数75をシュートした回数125で割っていますね。実際に計算してみると、0.6になりますね。

㋔チームより㋓チームのほうがよく入ったと言えるね。

Ｃさんの考え方だと、数値が大きくても、簡単にそろえて比べられるね。

そうですね。Ｃさんの考え方のように、シュートした回数を基にして、それを１と見たとき、入った回数がどれだけに当たるかを表した数を、「割合」と言います。

基にする大きさが違うときには、割合を使って比べると簡単に比べることができる。

評価問題

㋔と㋕の二つのチームでバスケットボールの試合をしました。シュートが一番よく成功したと言えるのは、どっちのチームですか。わりあいを考えましょう。また、わる数をなぜその数にしたか説明しましょう。

子供に期待する解答の具体例

㋔チーム　９÷12＝0.75
㋕チーム　７÷10＝0.7　　
答え　㋔チーム

12と10を割る数にしたわけ
シュートした数を基にして、入った数がいくつに当たるかで比べればよいから。

感想例

はじめは、最小公倍数で比べていたけど、割合の考え方を使うことで、数値が大きくなった場合でも簡単に比べられることが分かりました。
割合を使った比べ方が分かったので、もっと大きい数値でも比べてみたいです。
これからは、割合の考えを使って比べられるようになりたいです。

イラスト／横井智美

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