小5算数「整数の性質」指導アイデア

特集
【文部科学省教科調査官監修】1人1台端末時代の教科指導ヒントとアイデア
小5算数「整数の性質」指導アイデア

執筆/福岡県北九州市立港が丘小学校教諭・塩谷順平
監修/文部科学省教科調査官・笠井健一、福岡教育大学教授・清水紀宏

小五算数 年間指導計画

単元の展開

第1時 二つに分けられた整数の特徴に着目し、その分け方を考える。

第2時 整数が2で割り切れるかどうかに着目し、整数が偶数と奇数に類別できることを知ること。

第3時 偶数と奇数を乗法の式に表し、その意味や性質を考える。

第4時 倍数の意味を理解する。

第5時 公倍数、最小公倍数の意味を理解する。

第6時 公倍数の意味や性質に着目し、公倍数の求め方を考える。

第7時 二つの数の公倍数の求め方を基にして、三つの数の公倍数の求め方を考える。

第8時 約数の意味を理解する。

第9時 公約数、最大公約数の意味を理解する。

第10時 公倍数の意味や性質に着目し、公約数の求め方を考える。

第11時(本時) 公約数を活用し、問題を解決する。

第12時 学習内容のふり返りと定着

本時のねらい

日常場面の問題を、公約数を用いて解決することができるようにする。

評価規準

公約数を使って、問題をよりよく解決することができる。(思考・判断・表現)

本時の展開



下のような、たて18㎝、横12㎝の方眼紙があります。方眼紙の目盛りは1㎝です。この方眼紙を目もりの線にそって切って、紙のあまりが出ないように、できるだけ大きな同じ大きさの正方形に分けたいと思います。正方形の1辺はなん㎝でしょうか。
太字の部分は、最初は隠しておく。

この問題で扱われている「方眼紙」という素材や正方形という形は、子供にとって身近なものです。とはいえ、この問題場面のような活動を、子供たちが日常的に多く行うわけではないでしょう。そこで、まずはこの問題場面を確実に理解させることが大切になります。

そのために、問題文の一部を最初は隠しておき、同じ大きさの正方形に分けるということをイメージさせるとよいでしょう。本実践では、ICTを活用して、子供たちにとって比較的理解しやすい数値(1㎝、2㎝)で、この問題場面のイメージをつかませます。

また、明らかにうまくいかない場合(10㎝)を提示することで、18や12を「あまらないように分ける」こと、すなわち約数や公約数に着目させることにつなげていきます。

※縦18㎝、横12㎝の方眼紙を子供たちに1枚ずつ配付する。

この方眼紙を同じ大きさの正方形に分けましょう。方眼紙だから確実な分け方が一つありますが、分かりますか。

一辺が1㎝のときは、分けられると思います。

※ICTを活用して、タブレットやテレビに分けた状態を示す。

図1

全部、一辺が1㎝の大きさの正方形になっていますね。では、一辺が1㎝でないと、同じ大きさの正方形に分けられませんか。

2㎝でもできそうです。

できるでしょうか。

※ICTを活用して、一辺が2㎝の場合を映す。

図2

やっぱりできた。

10㎝のときはどうでしょうか。隣の友達と相談してみましょう。

(相談後)できないと思います。

もう少し詳しく説明できますか。

一つしか正方形ができないと思います。

紙があまると思います。

※ICTを活用して、一辺が10㎝の場合を映す。

図3

確かに、一辺が10㎝の正方形が、一つしかできないようですね。さっき、紙があまると言ってくれましたが、数を使ってもう少し詳しく説明できますか。

縦が18㎝だから18―10=8で、縦が8㎝あまります。

横も12―10=2で、2㎝あまります。

同じ正方形で分けていくとき、紙にあまりがない場合と、あまりがある場合がありますね。それでは、今日の問題です(問題文の隠していた箇所を見せる)。この問題の条件は、次の三つになりますね(子供とのやりとりで条件を確認する)。

条件
①同じ大きさの正方形に分ける。
②あまりが出ないように分ける。
③できるだけ大きくする。


条件に合うような正方形の分け方を調べよう。

自力解決の様子

A つまずいている子

・12や18の約数に着目することができない。 
・12や18の約数を調べればよいことには気付いているが、12と18の公約数を求めればよいことに気付かない。
〈解答例〉
12の約数は1、2、3、4、6、12
答え 6㎝


B 素朴に解いている子

・12と18の公約数を求めればよいことに気付き、それぞれの約数を求めてから、公約数を見付ける。
〈解答例〉
12と18の最大公約数を求めます。

図4

答え 一辺が6㎝の正方形


C ねらい通り解いている子

12と18の公約数を求めればよいことに気付き、一方の約数を求めてから、もう一方の公約数になっているかどうかを大きい数から調べ、最大公約数を見付ける。
〈解答例〉
12の約数を求めてから、大きい順に18の約数かどうか調べる。

図5

答え 一辺が6㎝の正方形


ノート例

ノート例1
ノート例2

学び合いの計画

Aの子供のうち、約数に着目できていない子供には、2㎝の正方形の場合はあまらずに分けられる理由を、12と16というそれぞれの辺で具体的に確認させます。このことで、2が12と16の公約数であることに気付かせます。

さらに、「できるだけ大きい正方形にする」という問題の条件を確認しておき、クラス全体でのやりとりで、12と16の「最大」公約数を求めればよいということを確実に理解していく素地とします。

この授業は、問題の条件を理解し筋道立てて考えることが主眼ですので、最大公約数を求める方法については、Bの子の素朴な方法で充分です。ただし、よりよく問題を解くという観点から、Cの子の最大公約数の求め方もクラス全体のやりとりでとりあげ、共有しておくとよいでしょう。

あまりが出ないように約数を考えるとよいことには、皆さん気付いているようですね。例えば、一辺が4㎝のときはうまくいくかどうか、方眼紙に正方形をかかずに説明できますか。隣の友達と相談してみましょう。

(相談後)横は12÷4=3であまりは出ませんが、縦は18÷4=4あまり2で、2㎝あまってしまいます。

約数という言葉を使って言える人はいますか。

4は横の12の約数だけど、縦の18の約数ではありません。だからあまると思います。

なるほど。今まで確認した正方形について、表で表してみましょう。

※子供たちと数を記入していき、表を完成させる。

図6

正方形の一辺の長さがどのような場合に、あまらずに同じ大きさの正方形に分けられますか。

縦も横も割り切れるとき、あまらずに分けられます。

12と18の約数だとよいと思います。

12と18の公約数だと思います。

この問題はできるだけ大きな正方形に分けたいから、12と18の最大公約数だと思います。

なるほど。それでは、12と18の最大公約数を求めた人の解き方について考えていきましょう。

※Bの子、Cの子の方法で12と18の最大公約数が6であることを確認するとともに、ICTを活用して、一辺が6㎝の場合を映し、あまりなく分けられることを確認する。



条件に合うような正方形に分けるには、二つの辺の数の最大公約数を見付けるとよい。

評価問題

たて36㎝、横60㎝の長方形の画用紙があります。この画用紙を切り取り、紙のあまりが出ないように、できるだけ大きな正方形に分けたいと思います。正方形の一辺は何㎝でしょうか。

子供に期待する解答の具体例

36の約数を見付け、そのうち、60の約数でもある数を大きい順に見付ける(36と60の約数をすべて求めてから、最大公約数を求めてもよい)。
答え 一辺が12㎝の正方形

感想例

  • 今日の考えを使うと、三つの数や四つの数の最大公約数も簡単に見付けられそうだ。
  • まず、小さい数の約数を見付ける。次に、約数の中の大きな数から順に割り切れる数を見付けると、早く最大公約数を見付けることができる。

イラスト/横井智美

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