小3算数「分数」指導アイデア《同分母の分数の加法・減法の計算》

執筆/坂戸市立勝呂小学校教諭・内田謙太郎
監修/文部科学省教科調査官・笠井健一、浦和大学教授・矢部一夫

目次
単元の展開
第1時 1mを等分してできる大きさの分数による表し方
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第2時 単位分数を用いた分数の表し方
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第3時 分数・分母・分子の意味、端数部分の大きさの分数による表し方
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第4時 分数を数直線上に並べ、分数を整数と同様の数として捉える。
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第5時 1より大きい分数の表し方
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第6時 分割分数と量分数の違いについて理解
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第7時 0.1を単位とした小数と[MATH]\(\frac{1}{10}\)[/MATH]を単位にした分数の大きさの関係
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第8時 (本時)同分母の分数の加法・減法の計算
本時のねらい
同分母分数の加減計算の仕方について、単位分数に着目して、整数の計算に帰着して説明することができる。
評価規準
同分母分数の計算の仕方について、単位分数の何個分かで考えると整数と同じように計算できることを図や式を用いて説明している。
本時の展開
今まで分数ではどんな学習をしてきましたか。
1よりも小さい場合のかさや長さを分数を使って表しました。
1よりも大きい分数があることも学習をしました。
整数や小数と同じように数直線に表しました。
0.1は[MATH]\(\frac{1}{10}\)[/MATH]と同じ大きさだということも学びました。
今日はどんな学習ができそうですか。
小数のときはたし算・ひき算を学習したので、分数でもたし算やひき算ができるのかやってみたいです。
テープが2本あります。赤いテープは、[MATH]\(\frac{3}{10}\)[/MATH]m、青いテープは[MATH]\(\frac{4}{10}\)[/MATH]mです。合わせて何mでしょう。
どんな計算になりそうですか。
テープを合わせるからたし算になりそうだね。
[MATH]\(\frac{3}{10}\)[/MATH]+[MATH]\(\frac{4}{10}\)[/MATH]だと思います。でも、分数でもたし算ができるのかな。
テープをくっつけてしまえばいいのだから、分数でもたし算はできそうだね。
図などを基に、分数のたし算の仕方を考えましょう。
分数のたし算の仕方を考えよう。
見通し
[MATH]\(\frac{1}{10}\)[/MATH]を1めもりにした図を使って求めてみよう。
[MATH]\(\frac{3}{10}\)[/MATH]mと[MATH]\(\frac{4}{10}\)[/MATH]mのテープだから、合わせると1mの半分よりは長くなりそうだな。
分母が10だから、分数を小数にすれば答えが分かりそうだ。
赤いテープと青いテープが、[MATH]\(\frac{1}{10}\)[/MATH]mが何個分あるかで考えれば答えが分かると思う。
自力解決の様子
A つまずいている子
・分母は分母同士、分子は分子同士で足していて、実際の長さに着目できていない。
・[MATH]\(\frac{1}{10}\)[/MATH]をめもりにした図をうまく書くことができない。
B 素朴に解いている子
・テープ図や数直線をかき、[MATH]\(\frac{1}{10}\)[/MATH]mがいくつ分あるかを考えている。
・小数に表し直して計算している。
C ねらい通り解いている子
・図を基に[MATH]\(\frac{3}{10}\)[/MATH]mと[MATH]\(\frac{4}{10}\)[/MATH]mについて、[MATH]\(\frac{1}{10}\)[/MATH]mがいくつ分あるかを考えて、整数のたし算と同じように計算している。
学び合いの計画
本時では、[MATH]\(\frac{1}{10}\)[/MATH]mを1めもりにしたテープ図や数直線を基に、分数の加法減法を整数の計算に帰着させて考えられるようにすることが大切です。
比較検討の場面ではまず、つまずきとして考えられる分母同士、分子同士を足している子供([MATH]\(\frac{7}{20}\)[/MATH]m)を取りあげます。次に、分母はそのままにして分子だけ足している子供([MATH]\(\frac{7}{10}\)[/MATH]m)を取りあげます。答えが2つ出ていることから、「どちらが正しい答えですか」と問い、図や式を用いた説明を促します。その際、見通しの場面での「[MATH]\(\frac{3}{10}\)[/MATH]mと[MATH]\(\frac{4}{10}\)[/MATH]mのテープだから、合わせると1mの半分よりは長くなりそうだ」ということに気付かせることも有効です。
[MATH]\(\frac{1}{10}\)[/MATH]=0.1を基に小数に表し直して計算した子供や[MATH]\(\frac{1}{10}\)[/MATH]mを1めもりにしたテープ図や数直線に表して考えた子供、単位分数のいくつ分かで計算した子供を取り上げ、[MATH]\(\frac{7}{10}\)[/MATH]mが正しいことを確認します。その際、テープ図や数直線で考えた場合でも分子が7になる根拠を問い、[MATH]\(\frac{1}{10}\)[/MATH]mを基にすると3+4=7と計算できることを図と単位の考えを関連付けて考えられるようにします。
さらに、本時での[MATH]\(\frac{1}{10}\)[/MATH]を基にしての計算をふり返り、このように何かを基にして計算をしたことがないかを問い、0.1を基にして小数の計算をしたことや「何十+何十」の場面で10を基にして整数の計算をしたことなどを想起することにより、それらの計算を分数の計算と統合・発展的に考察できる力を育成するように留意します。
ノート例
A つまずいている子

B 素朴に解いている子

全体発表とそれぞれの考えの関連付け
それでは考えを発表してください。(分母は分母同士、分子は分子同士で足している子供を意図的に指名する)
〈○○さん〉[MATH]\(\frac{3}{10}\)[/MATH]+[MATH]\(\frac{4}{10}\)[/MATH]は、分母と分子をそれぞれ計算しました。分母の10と10を足して20、分子の3と4を足して7なので、[MATH]\(\frac{7}{20}\)[/MATH]です。
他の考えはいますか。(分母はそのままで、分子だけを足している子供を意図的に指名する)
〈△△さん〉[MATH]\(\frac{3}{10}\)[/MATH]+[MATH]\(\frac{4}{10}\)[/MATH]は、分母はそのままにして分子の3と4を足して、[MATH]\(\frac{7}{10}\)[/MATH]です。
○○さんは分母と分子の両方足しているけど、△△さんは分子だけ足しているね。
答えが2つ出てていますね。どちらが正しいのでしょう。
私は、分母が10だから小数にすることができると思います。[MATH]\(\frac{3}{10}\)[/MATH]=0.3、[MATH]\(\frac{4}{10}\)[/MATH]=0.4と同じ大きさなので、0.3+0.4=0.7が答えです。
0.7=[MATH]\(\frac{7}{10}\)[/MATH]だから、答えは[MATH]\(\frac{7}{10}\)[/MATH]だと思います。
小数のたし算はもう学習しているし、間違いないね。
見通しを立てたときに、1mの半分より長いと言っていたね。
図で考えた人もいましたね。

赤いテープが[MATH]\(\frac{3}{10}\)[/MATH]mで青いテープが[MATH]\(\frac{4}{10}\)[/MATH]mなので、合わせると、[MATH]\(\frac{7}{10}\)[/MATH]mだと思います
どうして合わせると[MATH]\(\frac{7}{10}\)[/MATH]mなのか、くわしく説明できますか。
[MATH]\(\frac{1}{10}\)[/MATH]mが10個分で1mになります。[MATH]\(\frac{3}{10}\)[/MATH]mは[MATH]\(\frac{1}{10}\)[/MATH]mが3つ分です。[MATH]\(\frac{4}{10}\)[/MATH]mは[MATH]\(\frac{1}{10}\)[/MATH]mが4つ分なので、合わせると7つ分です。[MATH]\(\frac{1}{10}\)[/MATH]mが7つ分だから[MATH]\(\frac{7}{10}\)[/MATH]mになります。

私は数直線で考えました。[MATH]\(\frac{3}{10}\)[/MATH]mは、[MATH]\(\frac{1}{10}\)[/MATH]mが3つ分なので、ここ(数直線上を指さして)です。ここから、[MATH]\(\frac{4}{10}\)[/MATH]m足すので、数直線を右に進めます。[MATH]\(\frac{1}{10}\)[/MATH]mを4つ分進めるので、ここ(数直線上を指さして)になります。ここは、[MATH]\(\frac{1}{10}\)[/MATH]mが7つ分なので[MATH]\(\frac{7}{10}\)[/MATH]mです。答えは[MATH]\(\frac{7}{10}\)[/MATH]mです。

計算で考えた人もいましたね。
3+4=7なので、[MATH]\(\frac{3}{10}\)[/MATH]+[MATH]\(\frac{4}{10}\)[/MATH]=[MATH]\(\frac{7}{10}\)[/MATH]で、[MATH]\(\frac{7}{10}\)[/MATH]mです。
なぜ分子だけ、たし算したのですか。
[MATH]\(\frac{1}{10}\)[/MATH]mが3つ分と4つ分を足しているから3+4の計算だけでできます。
[MATH]\(\frac{1}{10}\)[/MATH]がいくつ分かで考えれば、3+4だけで答えが出るからとても手際がいいね。
分数の計算も[MATH]\(\frac{1}{10}\)[/MATH]を基にすると、整数のたし算でできるんだね。
テープ図や数直線にも[MATH]\(\frac{1}{10}\)[/MATH]が3+4=7をしているところがありますか。

テープ図では、[MATH]\(\frac{1}{10}\)[/MATH]mを3つ分と4つ分を足しているところが3+4だね。

数直線でも、[MATH]\(\frac{1}{10}\)[/MATH]mを3つ分と4つ分を足しているから、[MATH]\(\frac{1}{10}\)[/MATH]が3+4=7になっているね。
どれも[MATH]\(\frac{1}{10}\)[/MATH]mを基にして整数のたし算をしているね。
今回は[MATH]\(\frac{1}{10}\)[/MATH]mを基にして考えていますが、前にもある数を基にして整数のたし算をしたことはありませんでしたか。
あ、小数の計算でも同じように考えました。今日の0.3+0.4=0.7も、0.1を基にして3+4=7で計算して、0.1が7つ分なので0.7です。
30+40=70も、10を基にして3+4=7で計算します。10が7つ分だから70です。この計算も同じように考えています。
分数の計算も、整数「何十+何十」などの計算や小数の計算と同じように、何分の1を基にして整数のたし算をしているんだね。
それでは分母が10以外でも、何分の1を基にして計算できるのか確かめてみましょう。
※継続して分数のひき算も同様に行うが、流れは省略。
分数のたし算やひき算も、[MATH]\(\frac{1}{〇}\)[/MATH]を基にすれば、整数の計算と同じように計算できる。
評価問題
[MATH]\(\frac{2}{4}\)[/MATH]+[MATH]\(\frac{1}{4}\)[/MATH]の計算の仕方をせつ明しましょう。
子供に期待する解答の具体例
[MATH]\(\frac{2}{4}\)[/MATH]+[MATH]\(\frac{1}{4}\)[/MATH]=[MATH]\(\frac{3}{4}\)[/MATH]
わけ
[MATH]\(\frac{1}{4}\)[/MATH]が2つ分と1つ分を足すから2+1=3
[MATH]\(\frac{1}{4}\)[/MATH]が3つ分で[MATH]\(\frac{3}{4}\)[/MATH]です。
感想例
- 分数のたし算やひき算は分子だけ計算すればよいのだと分かりました。分母を足したり引いたりしないわけが分かりました。
- 分数のたし算やひき算は、基にする数を決めるところが整数や小数の計算と同じだと分かりました。
- いろいろな分数のたし算やひき算をやってみたい。
ワークシートと板書例
イラスト/横井智美