小６算数「分数÷分数」指導アイデア《分数の乗法や除法を適用する問題で、演算決定をし、問題解決する》

２倍です。

４ｍは２ｍの２つ分だからです。

｢２＋２＝４」です。

｢２×２＝４」でもよいです。

｢２×□＝４」です。

□を求める式にすると、「４÷２＝□」です。

「ピンクのリボン÷青のリボン＝２倍」です。

１倍の２ｍよりも長くて、２倍のピンクのリボンの４ｍより短いので、１倍と少しです。

１倍と２倍の真ん中だから、1.5倍です。

何倍かを求めるときは、青のリボンの長さを基にして、そのいくつ分かを考えればいいです。

基にする数が２なのだから、３を２で割る計算をします。

｢３÷２」です。

比べる数の３を、基にする数の２で割ります。

｢黄のリボン÷青のリボン＝割合」です。

公式で言うと、｢比べられる量÷基にする量＝割合」です。

｢青のリボンの長さの何倍ですか」という文から分かります。

「青のリボンの長さの」の「の」の部分です。

だいたいそうです。「△△は」なら、比べられる量です。

まだ、十分に納得できるほどではないのですが、｢青いリボンの長さ２ｍ」が基にする量だということは、なんとなく分かりました。

1.5倍です。

黄のリボンの長さが青のリボンの長さの1.5倍です。

よいです。（多数）

３ｍは２ｍの1.5倍です。

図にかくと分かりやすくなると思います。

本当だ。黄のリボンと青のリボンの関係が、目で見て捉えられます。

黄のリボンと青のリボンの関係そのものを図に表したら、次のようになります。

｢黄のリボンの長さが青のリボンの長さの1.5倍」ということがよく分かります。

1.5倍のことを１[MATH]\(\frac{1}{2}\)[/MATH]倍とも言えるし、[MATH]\(\frac{3}{2}\)[/MATH]倍とも言えます。

２つ分、３つ分というのは、ちょうど割り切れて整数倍になるときだけ使える見方です。いつでも割り切れるわけではないので、｢倍の見方」を使っていくことが大事です。

倍を求めるわり算は、｢比べる量÷基にする量」だということです。

倍には、｢整数」だけでなく、｢小数」や「分数」にもなるということです。

はい。確かめることができました。（多数）

できそうですが、基にする量が分数なので、どうしようかなと思っています。

分数だと長さがどれくらいなのかひと目で分からないので、自信がありません。

赤、青、白と３つあるので、どれを基にするのかが分かりにくいです。

基にする量が何かをはっきりさせれば、いいと思います。

｢白のリボンの長さ[MATH]\(\frac{4}{3}\)[/MATH]ｍ」です。

｢白いリボンの長さの何倍ですか」という文です。

｢白いリボンの長さの」の「の」の部分です。

｢白のリボンの長さ[MATH]\(\frac{4}{3}\)[/MATH]ｍ」を基にする量にすることは、頭ではなんとなく分かります。

さっきのように図に表したらいいと思っています。

白いリボンを基にすることが分かってきました。

白いリボンを基にするということは、白いリボンの長さを１と見るということです。

わり算にするときに、白のリボンの長さの[MATH]\(\frac{4}{3}\)[/MATH]（ｍ）で割ればいいのだと思います。

関係の図にも表してみたいです。

割る数が [MATH]\(\frac{4}{3}\)[/MATH]という分数だということです。

計算が難しいことです。

倍の意味が分かりにくいことです。

赤のリボンは求められたけれど、青のリボンはよく分かりませんでした。

僕も同じです。関係図を見ると、赤のリボンは、白のリボンの半分だから、[MATH]\(\frac{1}{2}\)[/MATH]倍になることが分かりました。

関係図からも分かるけれど、何倍かを求めるときは、「[MATH]\(\frac{2}{3}\)[/MATH]÷[MATH]\(\frac{4}{3}\)[/MATH]」で求められます。今回の問題場面は、比べる量が赤と青のリボンの長さで、基にする量は白のリボンの長さだから、「比べる量÷基にする量」にそれぞれの数を当てはめると、何倍か求められました。

｢基にする数」が「割る数」になるので、文章を正しく読んで、何が基にする数なのかをはっきりさせたらいいです。

｢基にする数」は、｢１」と見る数です。

僕は、かけ算に直して考えると分かりやすいです。関係図を言葉にすると、｢白いリボン（[MATH]\(\frac{4}{3}\)[/MATH]ｍ）の□倍が赤いリボン（[MATH]\(\frac{2}{3}\)[/MATH]ｍ）」となります。これを式にすると「白いリボン（[MATH]\(\frac{4}{3}\)[/MATH]ｍ）×□＝赤いリボン（[MATH]\(\frac{2}{3}\)[/MATH]ｍ）」です。数だけを取り出すと「[MATH]\(\frac{4}{3}\)[/MATH]×□＝[MATH]\(\frac{2}{3}\)[/MATH]」です。ここから、｢[MATH]\(\frac{2}{3}\)[/MATH]÷[MATH]\(\frac{4}{3}\)[/MATH]＝□」を見付けます。

かけ算に戻って考えるというのは間違えなくていいと思います。｢基にする量×何倍＝比べる量」なら、迷うことはありません。

はい。[MATH]\(\frac{1}{2}\)[/MATH]倍です。｢赤のリボンは、白のリボンの[MATH]\(\frac{1}{2}\)[/MATH]倍」を「白のリボンの[MATH]\(\frac{1}{2}\)[/MATH]倍が赤のリボン」と言葉を並べ替えると分かりやすいです。

｢赤のリボンは、白のリボンの[MATH]\(\frac{1}{2}\)[/MATH]倍」ということは、｢白のリボンは、赤のリボンの２倍」という見方もできます。

式は、｢[MATH]\(\frac{2}{3}\)[/MATH]÷[MATH]\(\frac{4}{3}\)[/MATH]」になります。計算すると、｢[MATH]\(\frac{2}{3}\)[/MATH]÷[MATH]\(\frac{4}{3}\)[/MATH]＝[MATH]\(\frac{2}{3}\)[/MATH]×[MATH]\(\frac{3}{4}\)[/MATH]＝[MATH]\(\frac{2×3}{3×4}\)[/MATH]＝[MATH]\(\frac{1}{2}\)[/MATH]になり、[MATH]\(\frac{1}{2}\)[/MATH]倍です。

関係図から求めた倍と同じになった。公式を使えば、青のリボンも求められそうです。

私は、数直線図をかいて、何倍かを求めるときは わり算になることを見付けました。基にする量の白いリボンの長さ[MATH]\(\frac{4}{3}\)[/MATH]ｍを１と見ると、赤のリボンとの関係は、このような数直線図になります。
[MATH]\(\frac{4}{3}\)[/MATH]を１と見ます。その□倍が[MATH]\(\frac{2}{3}\)[/MATH]です。式にすると、｢[MATH]\(\frac{4}{3}\)[/MATH]×□＝[MATH]\(\frac{2}{3}\)[/MATH]」です。そこから、□を求めるわり算に直して、｢[MATH]\(\frac{2}{3}\)[/MATH]÷[MATH]\(\frac{4}{3}\)[/MATH]＝□」となります。だから、みんなと同じように、[MATH]\(\frac{2}{3}\)[/MATH]を[MATH]\(\frac{4}{3}\)[/MATH]で割ると□を求めることができるということになります。

何倍かを求めるときは、やっばり、わり算で求めることができるんだね。

[MATH]\(\frac{1}{2}\)[/MATH]倍というのは、基にする量[MATH]\(\frac{4}{3}\)[/MATH]ｍを１と見たとき、[MATH]\(\frac{2}{3}\)[/MATH]ｍが[MATH]\(\frac{1}{2}\)[/MATH]に当たることを表しているんだね。

はい。できそうです。

｢比べる量÷基にする量」に数を当てはめて、式は「２÷[MATH]\(\frac{4}{3}\)[/MATH]」になります。

計算すると、｢２÷[MATH]\(\frac{4}{3}\)[/MATH]＝２×[MATH]\(\frac{3}{4}\)[/MATH]＝[MATH]\(\frac{2×3}{1×4}\)[/MATH]＝[MATH]\(\frac{3}{2}\)[/MATH]」になり、答えは[MATH]\(\frac{3}{2}\)[/MATH]倍です。

[MATH]\(\frac{3}{2}\)[/MATH]倍というのは、｢基にする量[MATH]\(\frac{4}{3}\)[/MATH]ｍ」から見た「比べる量２ｍ」の大きさのことだね。

別の言い方をすると、｢基にする量[MATH]\(\frac{4}{3}\)[/MATH]ｍ」を１と見たときの「比べる量２ｍ」が、[MATH]\(\frac{3}{2}\)[/MATH]の大きさに当たるということを表していると言えると思います。

整数や小数のときと同じように、分数のときも、ある大きさが基にする大きさの何倍に当たるかを求めるには、わり算になることがよく分かりました。

基にする量の白いリボンの長さ[MATH]\(\frac{4}{3}\)[/MATH]ｍを１と見ると、青のリボンとの関係は、このような数直線図になります。[MATH]\(\frac{4}{3}\)[/MATH]ｍを１と見て、その□倍が２ｍです。式にすると、｢[MATH]\(\frac{4}{3}\)[/MATH]×□＝２」です。そこから、□を求めるわり算に直して、｢２÷[MATH]\(\frac{4}{3}\)[/MATH]＝□」となります。

青いリボンの長さ２ｍも、赤いリボンの長さのときと同じように÷[MATH]\(\frac{4}{3}\)[/MATH]をすることで、白いリボンの長さの何倍になるかを求めることができます。