小6算数「分数のわり算」指導アイデア《除数の分子が1のときの分数÷分数の計算》

特集
【文部科学省教科調査官監修】1人1台端末時代の教科指導ヒントとアイデア
タイトル 小6算数「分数のわり算」指導アイデア

執筆/新潟県新潟市立新津第一小学校教諭・古川智子
監修/文部科学省教科調査官・笠井健一、新潟県新潟市立新津第一小学校校長・間嶋哲

小六算数 年間指導計画

単元の展開

第1時 (本時)除数の分子が1のときの(分数)÷(分数)の式の意味と、計算のしかたを考える。

第2時 (分数)÷(分数)の計算のしかたを考える。

第3時 除数が仮分数の計算の意味を理解する。

第4時 帯分数で割る計算のしかたを考える。

第5時 帯分数での除法の文章題を、線分図や表を基に解く。

第6時 被除数、除数、商の関係を調べる。

第7時 分数の乗法や除法を適用する問題で、演算決定をし、問題解決することができる。

第8時 既習事項の確かめをする。

本時のねらい

問題場面から、面積図や数直線を使って意味を考えたり、計算のしかたを面積図や数直線、わり算のきまりを使って、考えたりすることができる。

評価規準

(分数)÷(分数)の計算のしかたについて、 言葉や図で表すことができる。

本時の展開



[MATH]\(\frac{2}{5}\)[/MATH]㎡のへいをぬるのに、ペンキを□dL使います。このペンキ1dLあたり、何㎡ぬれますか。

(□に2を入れて)、ペンキを2dL使ったら、どんな式になりますか。

※既習事項の復習として整数の値を入れる。

簡単! 分子が2だから、2つに分けられます。だから、[MATH]\(\frac{2}{5}\)[/MATH]÷2=[MATH]\(\frac{1}{5}\)[/MATH]です。

分数のかけ算に直せば、計算できます。[MATH]\(\frac{2}{5}\)[/MATH]÷2=[MATH]\(\frac{2}{5}\)[/MATH]×[MATH]\(\frac{1}{2}\)[/MATH]=[MATH]\(\frac{1}{5}\)[/MATH]です。

(□に[MATH]\(\frac{1}{4}\)[/MATH]を入れて)、ペンキを[MATH]\(\frac{1}{4}\)[/MATH]dL使ったら、どんな式になりますか。

えっ? 割る数が分数なの?

1あたりを求めるからわり算だけど、わり算にしてもいいのかな。

[MATH]\(\frac{2}{5}\)[/MATH]÷[MATH]\(\frac{1}{4}\)[/MATH]かな。

割る数が分数になるのかな。

□が2(整数)のときはわり算になったから、分数のときもわり算になると思います。(類推的な考え方:既習の内容との類似性に着目して、新しい事柄を見いだす考え方です。)

整数(2)のとき、どのように考えましたか。

ペンキの量が2倍になっているので、塗れる量も2倍になります。

式にすると、□×2=[MATH]\(\frac{2}{5}\)[/MATH]です。かけ算の逆になるので、□=[MATH]\(\frac{2}{5}\)[/MATH]÷2になります。

2で割ると、1dLあたりの量が出ます。[MATH]\(\frac{2}{5}\)[/MATH]÷2です。



割る数が分数になることを、既習事項(分数÷整数)を使って確認しましょう。
どのように考えてきたかを、言葉や数字だけで説明させるだけでなく、対応数直線と結び付けながらふり返ると、より理解が深まります。
次の2つの理由を押さえていくことが大切です。
①対応数直線を使って、1dLあたりのペンキの量を求めたいから、[MATH]\(\frac{2}{5}\)[/MATH]÷[MATH]\(\frac{1}{4}\)[/MATH]
②求めたい数値を□として、□×[MATH]\(\frac{1}{4}\)[/MATH]=[MATH]\(\frac{2}{5}\)[/MATH]となるので、□=[MATH]\(\frac{2}{5}\)[/MATH]÷[MATH]\(\frac{1}{4}\)[/MATH]

[MATH]\(\frac{2}{5}\)[/MATH]÷[MATH]\(\frac{1}{4}\)[/MATH]の対応数直線

数直線1
いろいろな子供の考えに寄り添って、考えを出し合い、立式の意味を伝えていきたいですね!



[MATH]\(\frac{2}{5}\)[/MATH]÷[MATH]\(\frac{1}{4}\)[/MATH]は、どうやって計算したらよいのだろうか。

見通し

割る数が整数のときの考え方で、使えそうな考え方はありますか。

整数(2)を([MATH]\(\frac{1}{4}\)[/MATH])に変えればできそうです。

1dLあたりの量を出せば出せます。

面積図が使えます。

対応数直線を使えばできそうです。

わり算のきまりが使えそうです。



見通しをもつ段階で、「わり算を既習の分数のかけ算にできる」という見方・考え方を引き出し、働かせて、解決を図りましょう。

自力解決の様子

A つまずいている子

割る数が分数になることで、混乱している。意味を理解できず、数直線や図を用いて計算することができない。


B 図を使って解いている子

面積図や数直線を使って、答えは求めることができる。しかし、どのように計算をしたらよいか説明ができない。


C ねらい通り解いている子

割る数を1にすることに着目して、[MATH]\(\frac{1}{4}\)[/MATH]に逆数をかけて、÷1の形に直して考える。わり算のきまりを使って計算することができる。

学び合いの計画

割る数が分数になったときの除法の意味を考えていく場面です。

分数で割ることの意味は難しく、子供たちは、「分数の割り算はひっくり返してかければよい」と形式的に覚えがちです。そこで、数直線や図と数を関連させながら話し合わせ、分数のわり算の理解を深めていきましょう。

(分数)÷(整数)の場面から、[MATH]\(\frac{2}{5}\)[/MATH]÷[MATH]\(\frac{1}{4}\)[/MATH]=[MATH]\(\frac{2}{5}\)[/MATH]×4となりそうだということを確認します。そこで、「『÷[MATH]\(\frac{1}{4}\)[/MATH]』が『×[MATH]\(\frac{4}{1}\)[/MATH]』に変身するのだろうか」と投げかけて、「答えはいくつになるか説明できるかな」と問います。

五年生の小数の学習で、両方の辺を10倍したら整数に直せたという既習事項を想起させるなど、今回も割る数が分数でも、整数に直せば計算できそうだということを気付かせていきます。

計算のしかたについては、除法に関して成り立つ性質を活用し、「割られる数と割る数1で割って、4をかける」「割られる数と割る数に[MATH]\(\frac{4}{1}\)[/MATH]をかけて、割る数を1にする」など、「分数÷整数」「分数×整数」や「分数×分数」に変えていけば、既習したことを生かして計算できることを確認していきましょう。

ノート例

ノート例

全体発表とそれぞれの考えの関連付け

どうやって答えを求めましたか。

数直線で考えました。1dLあたり?㎡塗れるとすると、 [MATH]\(\frac{2}{5}\)[/MATH]を4倍すれば求められます。

数直線2

図をかいて考えました。[MATH]\(\frac{1}{4}\)[/MATH]dLで塗るときよりもペンキの量が増えるから、塗れる面積も増えます。[MATH]\(\frac{1}{4}\)[/MATH]dLを4倍すれば、1dLになります。[MATH]\(\frac{1}{5}\)[/MATH]㎡が(2×4)個分あるから、[MATH]\(\frac{2}{5}\)[/MATH]÷[MATH]\(\frac{1}{4}\)[/MATH]=[MATH]\(\frac{2×4}{5}\)[/MATH]=[MATH]\(\frac{8}{5}\)[/MATH]です。

グラフと数直線3

わり算のきまりを使って考えました。割る数を整数に直せば、今まで習ったことが使えます。

アさん
割られる数と割る数どうしに同じ数をかけても、答えは一緒になる計算のきまりを使うとできます。はじめに4を掛ければ、割る数が1になります。

はじめに最小公倍数の20を掛けて、割る数も割られる数も整数に直しました。

  • [MATH]\(\frac{2}{5}\)[/MATH]÷[MATH]\(\frac{1}{4}\)[/MATH]=([MATH]\(\frac{2}{5}\)[/MATH]×4)÷([MATH]\(\frac{1}{4}\)[/MATH]×4)=[MATH]\(\frac{2}{5}\)[/MATH]×4÷1=[MATH]\(\frac{2}{5}\)[/MATH]×4=[MATH]\(\frac{8}{5}\)[/MATH]
  • [MATH]\(\frac{2}{5}\)[/MATH]÷[MATH]\(\frac{1}{4}\)[/MATH]=([MATH]\(\frac{2}{5}\)[/MATH]×20)÷([MATH]\(\frac{1}{4}\)[/MATH]×20)=8÷5=[MATH]\(\frac{8}{5}\)[/MATH]



割る数と割られる数に4や20を掛けた根拠を問い、「今までに習った分数のかけ算やわり算が使えるから」と、子供たちに根拠を確認しましょう。
式だけの操作で考えている子供もいると思われるので、式と図を関連付けながら、それぞれ対応させながら意味を理解させていきましょう。

3つの計算のしかたで、共通しているところはありますか。

4倍しています。

1dLあたりの数を出しています。

割る数の分数の意味を考えたら、分数のかけ算に変わっています。



割る数が分数でも、わり算をすることができる。
対応数直線や図を使ったり、割る数をなん倍すれば1になるかを考えたりすると、分数のかけ算を使って計算できる。

評価問題

[MATH]\(\frac{3}{5}\)[/MATH]÷[MATH]\(\frac{1}{3}\)[/MATH]の商を求め、計算のしかたを説明しましょう。

子供に期待する解答の具体例

[MATH]\(\frac{3}{5}\)[/MATH]÷[MATH]\(\frac{1}{3}\)[/MATH]=([MATH]\(\frac{3}{5}\)[/MATH]×3)÷([MATH]\(\frac{1}{3}\)[/MATH]×3)=[MATH]\(\frac{3}{5}\)[/MATH]×3÷1=[MATH]\(\frac{3}{5}\)[/MATH]×3==[MATH]\(\frac{9}{5}\)[/MATH]

数直線4

感想

  • 分数のかけ算のときと同じように、分数でもわり算をしてもよいことが分かり、数直線やわり算のきまりを使って説明したので、その意味が分かりました。
  • 分数のわり算は割る数が分数でも、整数に直せば、今まで学習したことを使って計算できることが分かりました。
  • アさんの考え方は、÷1になって簡単なので、すごいなと思いました。

1人1台端末活用ポイント

Googleアプリの「Jamboard(ジャムボード)」は、みんなで共同作業できるオンラインのホワイトボードです。最大20枚のフレーム(白紙のページ)を作成することができ、それぞれ同時に編集活動が可能です。話合い活動のときに、グループやクラスみんなで考えを出し合ったり、意見を整理したりすることができます。

ホワイトボードの上に、自由かつ簡単に文字や図などを書き込めることはもちろん、付箋機能もあるため、話し合ったことが視覚的にも分かりやすく表示できます。

分数のわり算では、「対応数直線」を提示し、付箋機能で当てはまる数字を対応させてみたり、「対応数直線」「面積図」のフレーム(ページ)を作って、それぞれ図にかき込みながら話合いをしたりして、考えをまとめることに活用してみてはいかがでしょうか。

グループごとにフレーム№を指定すると、グループごとの話合いもでき、全体で発表のときも、各グループのフレーム(ページ)を見れば、どのような話合いをしたかが分かりやすいです。

イラスト/横井智美

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