小5算数「分数と小数、整数」指導アイデア

特集
【文部科学省教科調査官監修】1人1台端末時代の教科指導ヒントとアイデア
小5算数「分数と小数、整数」指導アイデア

執筆/福岡県那珂川市立安徳小学校教諭・赤松達也
監修/文部科学省教科調査官・笠井健一、福岡教育大学教授・清水紀宏

小五算数 年間指導計画

単元の展開

第1時(本時)分数の意味に着目し、整数の除法の結果を分数で表す方法を考える。

第2時 商分数の適用問題

第3時 整数倍や小数倍の分数倍の意味を基に、分数倍の意味について考える。

第4時 分数の意味に着目し、分数を小数や整数で表す方法を考える。

第5時 小数や整数の意味に着目し、小数や整数を分数で表す方法を考える。

本時のねらい

分数の意味に着目し、整数の除法の結果を分数で表す方法を考える。

評価規準

(整数)÷(整数)を図と関連付けながら、その商を分数で表すことができる。

本時の展開



ジュース2Lを□人で等しく分けます。1人分は何Lになりますか。
※□に入れる数字を教師が2→4→3とする。

□を2にします。2人で等しく分けるとき、1人分は何Lになりますか。

1人分は1Lです。

今の答えを式と一緒に言えますか。

式は2÷2=1で、1人分は1Lです。

そうですね。では、□を4にしてみます。2Lを4人で等しく分けるとき、1人分は何Lになりますか。

2÷4=0.5なので、1人分は0.5Lです。

2÷4で正しいですか。4÷2ではないですか。

4等分なので、÷2ではなくて、÷4だと思います。

そうですね。では、□を3にします。3人で等しく分けるときは、1人分を求める式はどうなりますか。

2÷3です。

1人分は何Lでしょうか。計算してみましょう。

計算したら、0.66……となります。割り切れません。

1人分は0.6Lで、あまりは0.2Lです。

なるほど。でも、等しく分けたいので、あまりは出ないようにしたいですね。例えば、同じ3等分でも1Lを3人で等分するとき、1人分は何Lと言ったらよいでしょうか。

やっぱり1÷3=0.33……になって、割り切れません。

[MATH]\(\frac{1}{3}\)[/MATH]Lだと思います。

なるほど。分数を使ったんですね。では、今度は2Lの3等分を考えてみましょう。



割り切れないわり算の商の表し方を考えよう。

導入では、□に教師が意図的に数値を選んでいき、これまでのわり算が、商が整数となって割り切れる場合、商が小数となって割り切れる場合、あまりのある場合という、それぞれの場合をふり返り、本時では、割り切れない場合にあまりを出さずにどのように商を求めるのかを考えるというめあてへとつなげていきます。

2÷3が0.66……と割り切れないことを確認した後、「1Lの3等分」を提示します。この場合も割り切れないのですが、分数を使うと1人分が[MATH]\(\frac{1}{3}\)[/MATH]Lと表現できることを押さえ、後の探究の手がかりとします。

見通し

  • [MATH]\(\frac{1}{3}\)[/MATH]L
  • [MATH]\(\frac{2}{3}\)[/MATH]L
  • 図を使って考える。

自力解決の様子

A つまずいている子

3等分なので[MATH]\(\frac{1}{3}\)[/MATH]Lと考える。

小五算数 図1

2Lを1つの長方形で表し、それを3等分している。


B 素朴に解いている子

2Lを縦に分けた図や、下のように1Lずつ左右に2つ置いた図をかき、1人分を[MATH]\(\frac{2}{3}\)[/MATH]Lと捉えている。

小五算数 図2

C ねらい通り解いている子

最初の立式と図による表現を関連付けて、2÷3=[MATH]\(\frac{2}{3}\)[/MATH]であることを理解している。

学び合いの計画

Aの子供は、分割分数(あるものの[MATH]\(\frac{1}{3}\)[/MATH]の大きさ、例えば、2Lの[MATH]\(\frac{1}{3}\)[/MATH]の大きさ)と、量分数(1Lの[MATH]\(\frac{1}{3}\)[/MATH]の大きさが[MATH]\(\frac{1}{3}\)[/MATH]L)を混同しています。

これは、二年生で学習した分数の捉えであり、分数をまったく分かっていないわけではありません。実際、このように考える子供も多いと思われます。この混同の解消を個別に指導していくというよりは、「全体の交流」で考えさせていくことが望ましいでしょう。

Aの子供に、全体の交流までにつまずきを意識させたい場合、1Lの3等分が[MATH]\(\frac{1}{3}\)[/MATH]Lであることを図で再度確認し、「2Lの3等分も同じ[MATH]\(\frac{1}{3}\)[/MATH]Lでよいのかな」と問うたり、2Lの図をかいている子供に、2Lを1Lずつ左右に2つ置いた図をかかせて、もう一度考えさせたりするという支援も考えられます。

また、グループやタブレットを用いた解法の共有も一定の有効性があるかもしれません。Aの子供にとっては、ほかの子供の「[MATH]\(\frac{2}{3}\)[/MATH]L」という考えに触れることで、自分の考えを見直すことにつながるかもしれません。

また、1÷3=[MATH]\(\frac{1}{3}\)[/MATH]を基に、2÷3=[MATH]\(\frac{2}{3}\)[/MATH]と形式的に考えた子供は、Aの図による解法を見て、むしろ「[MATH]\(\frac{1}{3}\)[/MATH]Lかも」とゆさぶられるかもしれません。たとえ答えが合っていても、形式的に考えるだけでは「浅い学び」です。そうではなくて、AやBの子供のような図を通して考えることで、2Lの3等分が[MATH]\(\frac{2}{3}\)[/MATH]Lであることを確信する「深い学び」を実現したいものです。

小グループで学び合いをさせる場合は、「マス図の全体が何Lを表しているか」を交流の視点とし、子供たちがやりとりのなかで、「1Lを等分すること」(ここでは、1Lを3等分すること)の大切さに気付くことをねらいとしていきます。

ノート例

ノート例

全体発表とそれぞれの考えの関連付け

[MATH]\(\frac{1}{3}\)[/MATH]Lと考えた人と、[MATH]\(\frac{2}{3}\)[/MATH]Lと考えた人がいるようです。まず、[MATH]\(\frac{1}{3}\)[/MATH]Lという考えを図で表した人に説明してもらいましょう(適宜、指名し、説明させる)。

2Lを3等分します。

小五算数 図3

この図から、[MATH]\(\frac{1}{3}\)[/MATH]Lだと分かります。

3等分したから、この1つ分は[MATH]\(\frac{1}{3}\)[/MATH]Lですね。とても分かりやすい説明ですね。皆さんどうですか。

気持ちは分かるけど、最初に1Lの3等分を考えたときに[MATH]\(\frac{1}{3}\)[/MATH]Lだったので、2Lの3等分が同じ量になるのはおかしいと思います。

3等分にはなっているけど、この長方形は2Lを表しています。

1Lでも2Lでも「3等分」してるから、[MATH]\(\frac{1}{3}\)[/MATH]Lでよいと思います。

[MATH]\(\frac{1}{3}\)[/MATH]Lは1Lを3等分したものです。この長方形(全体の長方形)は1Lを表していないといけません。

なるほど。2Lの3等分について、まだ、[MATH]\(\frac{1}{3}\)[/MATH]Lと[MATH]\(\frac{2}{3}\)[/MATH]Lで意見が分かれていますね。もう一度、確認しますが、1Lの3等分が[MATH]\(\frac{1}{3}\)[/MATH]Lというのは皆さん納得ですか(1Lを3等分した図を確認する)。

いいと思います。

では、2Lの図を1Lの図に分けて説明すると分かりやすくなるかもしれませんね。この方法でやってみた人の考えを聞きましょう。

※子供がかき上げた結果の図を電子黒板などで写すのではなく、図を少しずつかかせながら、説明させましょう。

2Lは1Lの2つ分なので、1Lのマスを2つかきます。それぞれを3等分します。

小五算数 図4

ここで少し確認したいことがあります。小さいマスは全部同じ大きさですね。この小さいマス1つ分の大きさは何Lですか。

1Lを3等分したうちの1つ分なので、[MATH]\(\frac{1}{3}\)[/MATH]Lです。

なるほど。左も右も1Lを3等分したから、この小さいマス1つ分は全部[MATH]\(\frac{1}{3}\)[/MATH]Lになるのですね。では、次に2Lの3等分にあたるところに色を付けましょう。どこに色を付けるか、隣の友達と相談してみてください。


いろいろな色の付け方があるみたいですが、さっきの2Lを3等分した図があるので、それと合わせて色を付けることができた人はいますか。

※子供が次のように色を付ける。

小五算数 図5

「2L」の3等分は、この色を付けた所ですね。色を付けた所を合わせると何Lになりますか。

左に[MATH]\(\frac{1}{3}\)[/MATH]L、右に[MATH]\(\frac{1}{3}\)[/MATH]Lあるので、合わせて[MATH]\(\frac{2}{3}\)[/MATH]Lです。

[MATH]\(\frac{1}{3}\)[/MATH]Lが2つ分なので、[MATH]\(\frac{2}{3}\)[/MATH]Lです。

この色を付けたところは、「1Lを3等分した[MATH]\(\frac{1}{3}\)[/MATH]L」を2つ合わせて[MATH]\(\frac{2}{3}\)[/MATH]Lになっているのですね。最初の図で色を塗ったところは、「2Lの[MATH]\(\frac{1}{3}\)[/MATH]」と言えますが、量で答えるときは、分けた図で考えたように[MATH]\(\frac{2}{3}\)[/MATH]Lですね。もう1つ質問です。これまでに考えたことを式で表すことができますか。

2÷3=[MATH]\(\frac{2}{3}\)[/MATH]です。

3÷2ではなく、2÷3という式にしたわけをもう一度確認しましょう。

2等分じゃなくて、3等分だから、÷3になります。

その結果が[MATH]\(\frac{2}{3}\)[/MATH]Lだから、2÷3=[MATH]\(\frac{2}{3}\)[/MATH]なんですね。(黒板に板書しておいた2÷3=0.66……を指して)このときと比べて、気付いたことはありますか。

分数を使うと正確に表せます。



ジュース4Lを3人で等しく分けます。1人分は何Lになりますか。

では、問題2です。ジュース4Lを3人で等しく分けると、1人分は何Lになりますか。問題1と違うところはどこですか。

ジュースが4Lになっています。

2Lが4Lに変わりました。

似ているところはありますか。

3人で分けるところと、1人分を求めるところは同じです。

では、問題1で学んだことを生かして、図をかいて考えてから、最後に式で表しましょう。

小五算数 図6

図のように、3等分するときに、「1L」を等分する必要があったことを想起させ、[MATH]\(\frac{1}{3}\)[/MATH]Lの4つ分であることに気付かせます。

※問題2の確認後

今までの2問の式と答えを確認しましょう。

2÷3=[MATH]\(\frac{2}{3}\)[/MATH]と、4÷3=[MATH]\(\frac{4}{3}\)[/MATH]です。

2つの式と答えを見て、気付くことはありますか。

割られる数が分子、割る数が分母になっています。



割り切れないわり算の商は、割られる数を分子、割る数を分母とする分数で表すことができる。
△÷□=[MATH]\(\frac{△}{□}\)[/MATH]

評価問題

ジュース3Lを4人で等しく分けます。1人分は何Lになりますか。式と答えを書きましょう。答えは分数で書きましょう。また、答えを説明する図もかきましょう。

子供に期待する解答の具体例

式 3÷4=[MATH]\(\frac{3}{4}\)[/MATH]  答え [MATH]\(\frac{3}{4}\)[/MATH]L

小五算数 図7

1Lの4等分は[MATH]\(\frac{1}{4}\)[/MATH]L
[MATH]\(\frac{1}{4}\)[/MATH]Lの3つ分だから[MATH]\(\frac{3}{4}\)[/MATH]L

感想例

  • 分数を使えば、割り切れない場合も、1人分を求めることができることが分かった。
  • 図を使うと、やっぱり理解しやすことが分かった。
  • 最初は、どうやって2Lを3人で分けたらよいか、図のかき方も分からなかったけど、友達の図を見て、「なるほど」と思った。

1人1台端末活用ポイント

  • 子供たちがノートにかいた2Lを3等分した図を、全員で共有できるように集約・提示することで、よりよい考えに触れることができる。
  • 多様な図の表現を見ることで、自分に足りないものや考えを取り入れて、自分の考えをよりよいものにしようと、付加・修正する機会を短時間で行うことができる。

イラスト/横井智美

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