小5算数「分数と小数、整数」指導アイデア《整数の除法の結果を分数で表す》

特集: 文部科学省教科調査官監修《１人１台端末時代の》教科指導ヒントとアイデア

2022.09.15

単元の展開

第１時（本時）分数の意味に着目し、整数の除法の結果を分数で表す方法を考える。
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第２時　商分数の適用問題
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第３時　整数倍や小数倍の分数倍の意味を基に、分数倍の意味について考える。
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第４時　分数の意味に着目し、分数を小数や整数で表す方法を考える。
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第５時　小数や整数の意味に着目し、小数や整数を分数で表す方法を考える。

本時のねらい

分数の意味に着目し、整数の除法の結果を分数で表す方法を考える。

評価規準

（整数）÷（整数）を図と関連付けながら、その商を分数で表すことができる。

本時の展開

ジュース２Ｌを□人で等しく分けます。１人分は何Ｌになりますか。
※□に入れる数字を教師が２→４→３とする。

□を２にします。２人で等しく分けるとき、１人分は何Ｌになりますか。

１人分は１Ｌです。

今の答えを式と一緒に言えますか。

式は２÷２＝１で、１人分は１Ｌです。

そうですね。では、□を４にしてみます。２Ｌを４人で等しく分けるとき、１人分は何Ｌになりますか。

２÷４＝０.５なので、１人分は０.５Ｌです。

２÷４で正しいですか。４÷２ではないですか。

４等分なので、÷２ではなくて、÷４だと思います。

そうですね。では、□を３にします。３人で等しく分けるときは、１人分を求める式はどうなりますか。

２÷３です。

１人分は何Lでしょうか。計算してみましょう。

計算したら、0.66……となります。割り切れません。

１人分は0.6Ｌで、あまりは0.2Ｌです。

なるほど。でも、等しく分けたいので、あまりは出ないようにしたいですね。例えば、同じ３等分でも１Ｌを３人で等分するとき、1人分は何Lと言ったらよいでしょうか。

やっぱり１÷３＝0.33……になって、割り切れません。

[MATH]\(\frac{1}{3}\)[/MATH]Ｌだと思います。

なるほど。分数を使ったんですね。では、今度は２Ｌの３等分を考えてみましょう。

割り切れないわり算の商の表し方を考えよう。

導入では、□に教師が意図的に数値を選んでいき、これまでのわり算が、商が整数となって割り切れる場合、商が小数となって割り切れる場合、あまりのある場合という、それぞれの場合をふり返り、本時では、割り切れない場合にあまりを出さずにどのように商を求めるのかを考えるというめあてへとつなげていきます。

２÷３が0.66……と割り切れないことを確認した後、「１Ｌの３等分」を提示します。この場合も割り切れないのですが、分数を使うと1人分が[MATH]\(\frac{1}{3}\)[/MATH]Ｌと表現できることを押さえ、後の探究の手がかりとします。

見通し

[MATH]\(\frac{1}{3}\)[/MATH]Ｌ
[MATH]\(\frac{2}{3}\)[/MATH]Ｌ
図を使って考える。

自力解決の様子

A つまずいている子

３等分なので[MATH]\(\frac{1}{3}\)[/MATH]Ｌと考える。

２Ｌを１つの長方形で表し、それを３等分している。

Ｂ素朴に解いている子

２Ｌを縦に分けた図や、下のように１Ｌずつ左右に２つ置いた図をかき、1人分を[MATH]\(\frac{2}{3}\)[/MATH]Ｌと捉えている。

Ｃねらい通り解いている子

最初の立式と図による表現を関連付けて、２÷３＝[MATH]\(\frac{2}{3}\)[/MATH]であることを理解している。

学び合いの計画

Ａの子供は、分割分数（あるものの[MATH]\(\frac{1}{3}\)[/MATH]の大きさ、例えば、２Ｌの[MATH]\(\frac{1}{3}\)[/MATH]の大きさ）と、量分数（１Ｌの[MATH]\(\frac{1}{3}\)[/MATH]の大きさが[MATH]\(\frac{1}{3}\)[/MATH]Ｌ）を混同しています。

これは、二年生で学習した分数の捉えであり、分数をまったく分かっていないわけではありません。実際、このように考える子供も多いと思われます。この混同の解消を個別に指導していくというよりは、「全体の交流」で考えさせていくことが望ましいでしょう。

Ａの子供に、全体の交流までにつまずきを意識させたい場合、１Ｌの３等分が[MATH]\(\frac{1}{3}\)[/MATH]Ｌであることを図で再度確認し、「２Ｌの３等分も同じ[MATH]\(\frac{1}{3}\)[/MATH]Ｌでよいのかな」と問うたり、２Ｌの図をかいている子供に、２Ｌを１Ｌずつ左右に２つ置いた図をかかせて、もう一度考えさせたりするという支援も考えられます。

また、グループやタブレットを用いた解法の共有も一定の有効性があるかもしれません。Ａの子供にとっては、ほかの子供の「[MATH]\(\frac{2}{3}\)[/MATH]Ｌ」という考えに触れることで、自分の考えを見直すことにつながるかもしれません。

また、１÷３＝[MATH]\(\frac{1}{3}\)[/MATH]を基に、２÷３＝[MATH]\(\frac{2}{3}\)[/MATH]と形式的に考えた子供は、Ａの図による解法を見て、むしろ「[MATH]\(\frac{1}{3}\)[/MATH]Ｌかも」とゆさぶられるかもしれません。たとえ答えが合っていても、形式的に考えるだけでは「浅い学び」です。そうではなくて、ＡやＢの子供のような図を通して考えることで、２Ｌの３等分が[MATH]\(\frac{2}{3}\)[/MATH]Ｌであることを確信する「深い学び」を実現したいものです。

小グループで学び合いをさせる場合は、「マス図の全体が何Ｌを表しているか」を交流の視点とし、子供たちがやりとりのなかで、「１Ｌを等分すること」（ここでは、１Ｌを３等分すること）の大切さに気付くことをねらいとしていきます。

ノート例

全体発表とそれぞれの考えの関連付け

[MATH]\(\frac{1}{3}\)[/MATH]Ｌと考えた人と、[MATH]\(\frac{2}{3}\)[/MATH]Ｌと考えた人がいるようです。まず、[MATH]\(\frac{1}{3}\)[/MATH]Ｌという考えを図で表した人に説明してもらいましょう（適宜、指名し、説明させる）。

２Ｌを３等分します。

この図から、[MATH]\(\frac{1}{3}\)[/MATH]Ｌだと分かります。

３等分したから、この１つ分は[MATH]\(\frac{1}{3}\)[/MATH]Ｌですね。とても分かりやすい説明ですね。皆さんどうですか。

気持ちは分かるけど、最初に１Ｌの３等分を考えたときに[MATH]\(\frac{1}{3}\)[/MATH]Ｌだったので、２Ｌの３等分が同じ量になるのはおかしいと思います。

３等分にはなっているけど、この長方形は２Ｌを表しています。

１Ｌでも２Ｌでも「３等分」してるから、[MATH]\(\frac{1}{3}\)[/MATH]Ｌでよいと思います。

[MATH]\(\frac{1}{3}\)[/MATH]Ｌは１Ｌを３等分したものです。この長方形（全体の長方形）は１Ｌを表していないといけません。

なるほど。２Ｌの３等分について、まだ、[MATH]\(\frac{1}{3}\)[/MATH]Ｌと[MATH]\(\frac{2}{3}\)[/MATH]Ｌで意見が分かれていますね。もう一度、確認しますが、１Ｌの３等分が[MATH]\(\frac{1}{3}\)[/MATH]Ｌというのは皆さん納得ですか（１Ｌを３等分した図を確認する）。

いいと思います。

では、２Ｌの図を１Ｌの図に分けて説明すると分かりやすくなるかもしれませんね。この方法でやってみた人の考えを聞きましょう。

※子供がかき上げた結果の図を電子黒板などで写すのではなく、図を少しずつかかせながら、説明させましょう。

２Ｌは１Ｌの２つ分なので、１Ｌのマスを２つかきます。それぞれを３等分します。

ここで少し確認したいことがあります。小さいマスは全部同じ大きさですね。この小さいマス１つ分の大きさは何Lですか。

１Ｌを３等分したうちの１つ分なので、[MATH]\(\frac{1}{3}\)[/MATH]Ｌです。

なるほど。左も右も１Ｌを３等分したから、この小さいマス１つ分は全部[MATH]\(\frac{1}{3}\)[/MATH]Ｌになるのですね。では、次に２Ｌの３等分にあたるところに色を付けましょう。どこに色を付けるか、隣の友達と相談してみてください。

いろいろな色の付け方があるみたいですが、さっきの２Ｌを３等分した図があるので、それと合わせて色を付けることができた人はいますか。

※子供が次のように色を付ける。

「２Ｌ」の３等分は、この色を付けた所ですね。色を付けた所を合わせると何Lになりますか。

左に[MATH]\(\frac{1}{3}\)[/MATH]Ｌ、右に[MATH]\(\frac{1}{3}\)[/MATH]Ｌあるので、合わせて[MATH]\(\frac{2}{3}\)[/MATH]Ｌです。

[MATH]\(\frac{1}{3}\)[/MATH]Ｌが２つ分なので、[MATH]\(\frac{2}{3}\)[/MATH]Ｌです。

この色を付けたところは、「１Ｌを３等分した[MATH]\(\frac{1}{3}\)[/MATH]Ｌ」を２つ合わせて[MATH]\(\frac{2}{3}\)[/MATH]Ｌになっているのですね。最初の図で色を塗ったところは、「２Ｌの[MATH]\(\frac{1}{3}\)[/MATH]」と言えますが、量で答えるときは、分けた図で考えたように[MATH]\(\frac{2}{3}\)[/MATH]Ｌですね。もう1つ質問です。これまでに考えたことを式で表すことができますか。

２÷３＝[MATH]\(\frac{2}{3}\)[/MATH]です。

３÷２ではなく、２÷３という式にしたわけをもう一度確認しましょう。

２等分じゃなくて、３等分だから、÷３になります。

その結果が[MATH]\(\frac{2}{3}\)[/MATH]Ｌだから、２÷３＝[MATH]\(\frac{2}{3}\)[/MATH]なんですね。(黒板に板書しておいた２÷３＝0.66……を指して)このときと比べて、気付いたことはありますか。

分数を使うと正確に表せます。

ジュース４Ｌを３人で等しく分けます。１人分は何Ｌになりますか。

では、問題２です。ジュース４Ｌを３人で等しく分けると、１人分は何Ｌになりますか。問題１と違うところはどこですか。

ジュースが４Ｌになっています。

２Ｌが４Ｌに変わりました。

似ているところはありますか。

３人で分けるところと、１人分を求めるところは同じです。

では、問題１で学んだことを生かして、図をかいて考えてから、最後に式で表しましょう。

図のように、３等分するときに、「１Ｌ」を等分する必要があったことを想起させ、[MATH]\(\frac{1}{3}\)[/MATH]Ｌの４つ分であることに気付かせます。

※問題２の確認後

今までの２問の式と答えを確認しましょう。

２÷３＝[MATH]\(\frac{2}{3}\)[/MATH]と、４÷３＝[MATH]\(\frac{4}{3}\)[/MATH]です。

２つの式と答えを見て、気付くことはありますか。

割られる数が分子、割る数が分母になっています。

割り切れないわり算の商は、割られる数を分子、割る数を分母とする分数で表すことができる。
△÷□＝[MATH]\(\frac{△}{□}\)[/MATH]

評価問題

ジュース３Ｌを４人で等しく分けます。１人分は何Ｌになりますか。式と答えを書きましょう。答えは分数で書きましょう。また、答えを説明する図もかきましょう。

子供に期待する解答の具体例

式　３÷４＝[MATH]\(\frac{3}{4}\)[/MATH]　　答え　[MATH]\(\frac{3}{4}\)[/MATH]Ｌ

１Ｌの４等分は[MATH]\(\frac{1}{4}\)[/MATH]Ｌ
[MATH]\(\frac{1}{4}\)[/MATH]Ｌの３つ分だから[MATH]\(\frac{3}{4}\)[/MATH]Ｌ

感想例

分数を使えば、割り切れない場合も、１人分を求めることができることが分かった。
図を使うと、やっぱり理解しやすことが分かった。
最初は、どうやって２Ｌを３人で分けたらよいか、図のかき方も分からなかったけど、友達の図を見て、「なるほど」と思った。

１人１台端末活用ポイント

子供たちがノートにかいた２Ｌを３等分した図を、全員で共有できるように集約・提示することで、よりよい考えに触れることができる。
多様な図の表現を見ることで、自分に足りないものや考えを取り入れて、自分の考えをよりよいものにしようと、付加・修正する機会を短時間で行うことができる。

イラスト／横井智美

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