小3算数「かけ算の筆算(1)」指導アイデア《乗法の結合法則と計算の工夫》

特集: 【文部科学省教科調査官監修】１人１台端末時代の教科指導ヒントとアイデア

2022.05.18

単元の展開

第１時　なん十、なん百×１位数の計算
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第２時　被乗数と積の関係の考察
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第３時　２位数×１位数の計算
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第４〜７時　２位数×１位数の筆算
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第８・９時　３位数×１位数の筆算
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第10時（本時）乗法の結合法則
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第11時　まとめ

本時のねらい

数量の関係に着目し、乗法の結合法則を見いだし、計算のしかたや工夫のしかたを考察することができる。

評価規準

数量の関係に着目し、乗法の結合法則を活用した計算のしかたについて、自分の考えを説明できる。

本時の展開

37×3＝111になることを使って、37×12の計算の方法を考えましょう。

1つ37円のお菓子を３つ買いました。代金はいくらになるでしょう。

37×3＝111（円）です。

おお、数字が並んだ。

では、このお菓子を６つ買うと、代金はいくらになりますか。

37×6＝222（円）です。また数字が並んだ。すごい。

333円にもなりそう。

掛ける数が３の段だと、数字が揃うのかな。9個でも試してみたい。

37×9＝333（円）だ。

やっぱり同じ数字が並んだ。

じゃあ、37×12のときは444になるってことかな。

多分そうなると思う。だって、掛ける数が３増えると、答えも111ずつ増えているから。

だけど、掛ける数が２桁のかけ算は、まだ勉強していないよ。

でも、図で考えると、37×3が２つ分で222、３つ分で333になっているから、37×3＝111を基にして考えるといいと思う。

では、37×3＝111を使って、37×12が444になるか、確かめられますか。

やってみます。

37に3の倍数を掛けたときの計算のしかたを、37×3＝111を基にして考え、乗法の結合法則について理解し、その意味や有用性について、考えを説明することができる。

見通し

37円のお菓子を３つ買った値段が111円だから、それを４つ分買えば全部で12個買ったことになるな。（方法の見通し）

111ずつ増えるということは、37×３を基にして考えるといいのではないかな。（方法の見通し）

９個で333円だったから、あと３個分の値段111円を足せばいいので、444円になるね。（結果の見通し）

自力解決の様子

A つまずいている子

きまりをどのように計算に使うとよいか分からずに困っている。

Ｂ素朴に解いている子

37×９の積と37×３の積を足して、確かめている。

Ｃねらい通り解いている子

37×12を37×３と関連付けるために、12を３×４に表現し直して、計算のしかたを考えている。

学び合いの計画

今回は、子供が見付けたきまりから、結合法則の理解へとつなげられるよう、37に３の倍数を掛けると、積に同じ数字が３つ並ぶ問題場面を設定しました。

「なぜ積に同じ数字が並ぶのか」「それは、なぜ乗数が３の倍数のときだけなのか」と、きまりの仕組みについて考えることを通し、子供が主体的に調べていくことを大切にしましょう。

乗法に関して成り立つ性質は、形式的に指導して終わるのではなく、その性質がもつ意味や有用性を見いだすことが大切です。例えば、37×12のような未習の計算も、既習の分配法則や、37×３×４と表現し直すことで、444を求めることができます。37×3×4 においては、(37×３)×４と(　 )を用いて表現すれば、111×４と式を読みかえることができ、計算処理も容易になります。さらに、37×(３×４)とすれば、基の37×12を再現できます。

こうしたことから、計算の順序が変わっても、積は同じになることを子供が見いだせるよう、場面と結び付け、式のもつ働きに目を向けながら、結合法則を理解できるようにしていきましょう。

一方で、結合法則の有用性については、いつでも得られるわけではありません。そこで、一般的な乗法の計算を取り扱い、結合法則を用いても計算処理が容易にならない場合があると気付くことも大切です。

ノート例

A つまずいている子

C ねらい通りに解いている子

全体発表とそれぞれの考えの関連付け

Ｃ１　
37×12を、37×9と37×3に分けて考えました。
37×9＝333
37×3＝111　なので、
333＋111＝444となりました。
Ｃ２　
37×12を、37×3を基にして考えました。
37×3＝111です。
その4つ分が37×12の答えになるので、111×4＝444となりました。
Ｃ３　
37×12の12を３×4と考えました。
すると、37×3×4となります。
だから、37×3×4＝111×4＝444と考えました。

みんな444になった。37×12＝444で間違いなさそう。

いろんな計算のしかたがありましたね。友達の説明を聞いて、どのように考えたか、分かりましたか。

Ｃ１の考えは、12を９と３に分けて計算しています。かけ算のきまりを使っています。

Ｃ２とＣ３は、同じ考え方をしていると思います。

37円のお菓子３つ分の代金の111円を基にして、それを４つ分買っています。

12個をまとめて買うのではなく、３個セットを４つ買ったということか。

だから、37×３＝111を計算してから、４を掛けているんだね。

Ｃ３のように、３つの数を一つの式で表しても大丈夫ですか。

大丈夫です。Ｃ２と同じ考え方だからです。

では、Ｃ３をＣ２の式と同じように見えるようにできませんか。

あ、(　 )を付ければいいんじゃないかな。(37×３)×４にすれば、37×３を計算してから４を掛けたことが分かります。

本当だ。111×４が見えるようになった。

いいことに気が付きましたね。では、(　 )を後ろに付けるとどうなりますか。

37×(３×４)になって、基の37×12が見えるようになりました。

すごい。計算のしかたの式と、基の式の両方が見えるようになったよ。

Ｃ２の考えでもいいけれど、C３のように1つの式にしておくと、分かりやすく表せるね。

では、どうして掛ける数が３の段のとき、答えに同じ数字が並ぶのか考えてみましょう。

Ｃ３の式を使えば説明できると思います。

確かに。だって、37×３、37×６、37×９を、37×(３×１)、37×(３×２)、37×(３×３)で表してみると、( 　)の中が全部３の段になるから。

そうそう。そして、(　 )の位置を前にすると、(37×３)×１、(37×３)×２、(37×３)×３になって、全部111のかけ算になるから、同じ数字が揃う。

本当だ。すっきりした。

すごいですね。きまりの仕組みも明らかになりましたね。

さっき、37×６と37×９は筆算でやったんだけど、(　 )を前に付けて計算したほうが簡単かもしれない。

確かに。37×３＝111を使えるように、掛ける数を３の段の式に表せば、37×15や37×18も簡単に計算できるようになると思う。

では、37×14も同じようにやってみましょうか。

あれ？　14を２×７にして、(37×２)×７にしても簡単にならないぞ。(37×７)×２にしてもだめだ。どうしてだろう。

そうか。さっきの計算は、37×３＝111になるから簡単に計算できたのか。

じゃあ、今日の勉強はほかのことに生かせないのかな。

どんなときに今日の考え方が使えるのか、次回調べていきましょう。

評価問題

37×21をかんたんに計算する方法を考え、せつ明しましょう。

子供に期待する解答の具体例

まず、21を３×７にします。すると、式は37×(３×７)になります。次に、37×３＝111を使えば簡単に計算ができるので、(　 )の位置を前にして、(37×３)×７にします。(　 )の位置を変えても答えは同じなので、111×７＝777になります。

本時の評価基準を達成した子供の具体の姿

結合法則を用いて、工夫して計算することができている。また、簡単に計算ができる理由を説明できている。

感想例

37×12のような２桁で掛ける計算も、37×３＝111を使えるよう、別の式で表して考えることが大切と思いました。37×(３×４)を、(37×３)×４にすれば、111×４で計算ができて簡単でした。でも、37×３＝111を使えるときにしかできない考え方なので、ほかの計算も試してみたいです。
最初は、どうして答えの数字が同じになるのか不思議でしたが、式を工夫すればきまりが見えてすっきりしました。式にすると、どんな考え方をしているのかも分かるので、すごいと思いました。

１人１台端末活用ポイント

計算に関して成り立つ性質を扱うときには、図、式、言葉を結び付けて考えることを大切にしましょう。

本実践において、「乗数が３増えると、積が111増える」というきまりの仕組みを明らかにする際には、式だけでなく図を用いることによって、３や111が何を意味するのかについて説明できるようにするとよいでしょう。

また、そのきまりがどこまで続くのかを調べたり、結合法則の有用性がどのような計算のときに得られるのかを考えたりする活動も想定できます。その際には、１人１台端末を利用して、一つの画面に考えを共有することによって、友達の考えと比較したり、自分の考えを深めたりすることが可能となります。

イラスト／横井智美

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