小6算数「円の面積」指導アイデア

特集
【文部科学省教科調査官監修】1人1台端末時代の教科指導ヒントとアイデア
タイトル 小6算数「円の面積」指導アイデア

執筆/新潟県佐渡市立金井小学校教諭・名古屋祥吾
監修/文部科学省教科調査官・笠井健一、新潟県新潟市立新津第一小学校校長・間嶋哲

小五算数 年間指導計画

単元の展開

第1時 方眼を用いて、半径5㎝の円の面積を求める。

第2時(本時)半径10㎝の円を16等分した扇形を敷き詰め、既習の図形に変形させ、面積を求める。

第3時 前時に等積変形させ、面積を求めたそれぞれの式から、求積公式を導き出す。

第4時 正方形と四分円を組み合わせた形の面積を求める。

第5時 形の概形を基本的な図形と捉えて、面積を概測する方法を理解する。

第6時 円の求積公式を用いて、複合図形の面積を求める。

本時のねらい

半径10㎝の円を既習の図形に並べ替えたそれぞれの場合について、図形を求めるために必要な「底辺」や「高さ」、「縦」や「横」の長さが円のどの部分を表しているかを話し合う活動を通し、並び替えたそれぞれの図形から円の面積を求めることができる。

評価規準

半径2㎝の円を縦に長い平行四辺形に変形させた場合(下図)について、「底辺」と「高さ」が円のどこの部分を表しているかを式に表し、面積を求めることができる。

算数図1



半径10㎝の円の面積を、方眼を使わないで求めよう。



「底辺」や「高さ」、「縦」や「横」の長さはいくつになるのだろう。

見通し

半径10㎝の円の方眼を使わないで、面積を求める方法はありませんか。

平行四辺形の面積を求めたとき、切って長方形に変形させて考えました。

そうでしたね。円も長方形などの知っている形に変形させられますか。

変形できそうです。

ここに16等分したものがあるので、これを敷き詰めて別の形に変形させてみましょう。例えば、このように敷き詰めていくと、どんな図形になりそうですか。

算数図2

平行四辺形になりそうです。

算数図3

これって、平行四辺形って言っていいのかな。辺が波波になっているよ。

そうですね。皆さんに渡した円は16等分したものでしたが、円を32等分、64等分と細かくしていくと、波波の部分はどうなるか、確認してみましょう。

1人1台端末活用ポイント1

「JAVA実験室 円の面積」を活用する。https://javalab.org/ja/area_of_circle_ja/


底辺が波波に見える。


底辺が直線のように見える。


最も大きく分けて4等分、最も細かく分けて128等分することができます。細かくすればするほど、直線に近くなってくることが実感できます。

細かくしていくと、波波の部分は直線に見えてきて、平行四辺形に見えるね。

では、平行四辺形のほかに、どんな図形ができそうですか。

三角形ができました。

算数図4

台形ができました。

算数図5

さまざまな形に変形できましたね。平行四辺形に変形させた人は、どのような公式で面積を求めるとよいですか。

算数図6

底辺×高さです。

この平行四辺形に並び替えた図形では、底辺と高さはどの部分になりますか。

この部分です。

算数図7

ほかの図形は、どのような公式で求めるとよいですか。また、それは、並び替えた図形のどの部分ですか。自分が並び替えた図形の面積を求めましょう。

自力解決の様子(平行四辺形に変形させた子供の場合)

A つまずいている子

  • 高さが半径と等しいことに気付けない。
  • 底辺の長さを求める見当が付かない。

B 素朴に解いている子

高さに当たる部分が、半径の長さと等しいことが分かる。また、底辺の長さを求める際、扇形1つ分の弧の長さを求めてから、底辺全体の長さを求めている。

底辺の長さは、20×3.14÷16=3.925 3.925×8=31.4です。高さは、10㎝です。平行四辺形の面積は、底辺×高さで求められるので、31.4×10=314


C ねらい通り解いている子

高さに当たる部分が、半径の長さと等しいことが分かる。また、底辺の長さは円周の半分と等しい長さであることに気付き、長さを求めている。

底辺の長さは、20×3.14÷2=31.4です。高さは、10㎝です。平行四辺形の面積は、底辺×高さで求められるので、3.14×10=314

学び合いの計画

自力解決の際に、手が止まったり、困ったりしている子の気持ちを聞き、全体に広めます。変形させた図形の面積を求める際に必要な長さである「円の半径に当たる部分」と、「円の弧の長さに当たる部分」が分からない子供がいることが想定されます。その気持ちを全体に広め、必要な長さが円のどの部分と同じ長さになるのかを共有しましょう。

また、円の弧の長さに当たる部分を「円周の半分」や「円周の[MATH]\(\frac{1}{4}\)[/MATH]」と表現をしている子の考えを取り上げます。そうすることで、次時で円の求積公式を求める際に、式の変形がスムーズにできるようになります。

全体発表とそれぞれの考えの関連付け

平行四辺形の高さがいくつになるか、分からなくて困っている人がいたけれど、気持ちは分かりますか。

分かります。僕も困っています。

そこは、円の半径の長さと同じになるよ。だって、円の中心から円周までの長さと同じだよね。

算数図8

円の半径の長さを使って、必要な長さを求めた人はいますか。

私は三角形に変形させました。三角形の高さは、半径の長さが4つ分でした。

算数図9

僕は台形に変形させました。高さが半径の長さの2つ分でした。

算数図10

平行四辺形の底辺の長さがいくつになるか、分からなくて困っている人もいましたね。

そこは、円周の長さの半分の長さです。

どうして円周の半分だと言えるのか、説明できる人はいますか。

扇形8個分は、円の半分になるからです。

算数図11

扇形なん個分って考えると、円周のどれだけかが分かりやすいね。

三角形の底辺の長さは、扇形4つ分だから、円周の[MATH]\(\frac{1}{4}\)[/MATH]だね。

算数図12

ノート例

ノート例



面積を求めるために必要な長さは、「円周のどれだけか」「半径いくつ分」で求める。

評価問題

半径2㎝の円を平行四辺形に変形させました。底辺の長さと高さを求めてから、面積を求めましょう。

算数図13

子供に期待する解答の具体例

底辺の長さは、円周を8等分した長さと同じだから、4×3.14÷8=1.57
高さは、半径の長さが4つ分と同じだから、2×4=8
平行四辺形の面積は、底辺×高さで求められるので、1.57×8=12.56㎠

感想

  • 並べ替えたり、計算をたくさんしたりするのが大変でした。もっと簡単な求め方があったら知りたいです。

1人1台端末活用ポイント2

複合図形の面積を求める学習において、複合図形を子供に考えさせます。教師は子供が考えた複合図形からいくつかを選び、共有フォルダに投稿します。子供は、共有フォルダにある問題を選択して解き、解き終えたらノートの写真を撮って投稿します。ノート写真がいくつか投稿されたら、投稿された写真を見て、どのような工夫をして解いているかを共有します。例えば、①線を引いたり、切ったり、動かしたりして、簡単な形を見付ける。②簡単な形と簡単な形を足す。③簡単な形から簡単な形を引く。などの工夫があります。

工夫を共有し終えたら、再び問題に取り組ませます。図形の学習を苦手としている子には、友達が投稿した写真をヒントにしながら解くように声をかけます。友達から直接教わるわけではなく、友達が書き表した式や図からどのように考えたのかを読み取る経験もさせましょう。

ワークシート1
ワークシート2
算数図14

イラスト/横井智美

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