小５算数「整数の性質」指導アイデア《約数、公約数、最大公約数の意味の理解》

特集: 文部科学省教科調査官監修｢教科指導のヒントとアイデア｣

2024.11.29

単元の展開

第１時　２つに分けられた整数の特徴に着目し、その分け方を考える。
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第２時　整数が２で割り切れるかどうかに着目し、整数が偶数と奇数に類別できることを知る。
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第３時　偶数と奇数を乗法の式に表し、その意味や性質を考える。
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第４時　倍数の意味を理解する。
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第５時　公倍数、最小公倍数の意味を理解する。
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第６時　公倍数の意味や性質に着目し、公倍数の求め方を考える。
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第７時　２つの数の公倍数の求め方を基にして、３つの数の公倍数の求め方を考える。
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第８時（本時）約数、公約数、最大公約数の意味を理解する。
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第９時　公倍数の意味や性質に着目し、公約数の求め方を考える。
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第10時　公約数を活用し、問題を解決する。
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第11時　学習内容のふり返りと定着。

本時のねらい

約数の意味を理解するとともに、２つの数の約数に着目し、公約数、最大公約数の意味について考える。

評価規準

約数の意味を理解するとともに、課題を解決するなかで２つの数の約数に着目し、公約数や最大公約数の意味を考え、説明している。（思考・判断・表現）

本時の展開

長方形の画用紙に、正方形の折り紙をすき間なくしきつめます。すき間なくしきつめられるのは、正方形の１辺の長さが何㎝のときですか。
※子供との対話を通して画用紙の縦と横の長さを示す。

この画用紙に正方形の折り紙を敷き詰めます。敷き詰められますか。

実際に敷き詰めてみてもいいですか。

では、実際に敷き詰めてみましょう。

この大きさの折り紙（１辺15㎝）では、敷き詰められません。

そもそも、画用紙の縦と横の長さは何㎝ですか。

長さが分かれば、隙間なく敷き詰められるか分かります。

なぜ、分かるのですか。

例えば、私が持っている折り紙（正方形）の１辺は15㎝なので、画用紙の縦が14㎝なら縦に隙間ができてしまいます。横が30㎝だったら、横は隙間なく敷き詰められます。

画用紙の縦は12㎝、横は18cmです。

15㎝の折り紙では、画用紙の縦の長さより正方形の１辺の長さのほうが短いので、もっと小さい正方形であれば敷き詰められます。

１㎝の正方形なら縦に12枚（12÷１＝12）、横に18枚（18÷１＝18）敷き詰められます。

隙間なく敷き詰められるのは、正方形の１辺の長さが何㎝のときですか。

具体的な問題場面から約数の意味を理解するとともに、２つの数の約数に着目し、公約数、最大公約数の意味について考えることができる。

見通し

ノートに、図をかいて調べてみるといいよ。（方法の見通し）

画用紙の縦12㎝に敷き詰められるということは、割り切れる数を調べればいいよ。（方法の見通し）

割り切れる数を求めるということは、12と18ともに割り切れる数を求めれば分かるよ。（結果の見通し）

自力解決の様子

A　つまずいている子
ノートに正方形を１つずつかいていくが、途中で長さが分からなくなっている。

Ｂ　素朴に解いている子
ノートに縦12㎝、横18㎝の長方形をかき、１㎝→２㎝→３㎝と１辺の長さが異なる正方形を書き込み、調べている。

Ｃ　ねらい通り解いている子
２つの数の約数に着目し、共通の約数が隙間なく敷き詰められる正方形の１辺の長さになっていることに気付いている。

学び合いの計画

問題場面を最初から与えず、子供との対話を通して問題を整理します。｢この画用紙に正方形の折り紙を敷き詰めます。敷き詰められますか？」という教師の投げかけは、実際に操作で確認したり、敷き詰めるうえでの２つの数に着眼したりすることをねらっています。15㎝の正方形では敷き詰められないことから、敷き詰められる正方形の１辺の長さはいくつなのか、子供自ら問いをもつことを促しています。１辺が１㎝の正方形であれば、縦に12枚、横に18枚敷き詰められます。この枚数をどのように求めたのか問うことで、12÷１、18÷１のわり算が明らかになります。ここで、敷き詰められる正方形は他にもあるのか、子供自ら問いを見いだすことになります。

縦12㎝、横18㎝の長方形がかかれたワークシートを用いて、１㎝→２㎝→３㎝と１辺の長さが異なる正方形を書き込み、調べている子供の活動が考えられます。この活動と12÷〇＝□のように、割り切れる数を求めようとしている子供の学びを関連付けながら、12と18の約数を求めようとしていることに気付かせていきます。12の約数は、12÷〇＝□で調べられることから、〇×□＝12になるかけ算の組み合わせを考えることで、約数を見付けやすくしていることにも気付かせていきましょう。その特徴をもって18の約数も見付けていきます。

縦と横に隙間なく敷き詰められるとはどういうことなのか改めて問うなかで、図と関連付けながら12と18の共通な約数（公約数）が、敷き詰められる正方形の１辺であることに気付かせ、公約数のうちで一番大きい数を最大公約数であると指導します。最小の公約数は１になるが、最大公約数は数によって変わることから最大公約数をいかに効率よく調べていくか、最大公約数と公約数との関連性はあるのかなど関心をもたせ、次時の学習へと繋げていきましょう。

１人１台の端末の活用は、自他の考えの交流を簡潔に行うことができます。ワークシートにかいたことを写真に撮って一斉に共有することで、意見交流の時間を短縮することができます。友達の考えを自分と比較しながら共通点を見付けていく力を育むとともに、もっと深めていきたいという学習意欲をさらに高めていくことに繋がります。思考の視点を広げ深めたことを記録することができる端末は、学びの履歴を残し、学びの成長を自覚するうえでも有効なツールです。また、友達と一緒に学び進めていく手助けになるものであることからも、１人１台の端末をこれからも積極的に授業に取り入れていきましょう。

ノート例

Ａ　つまずいている子

Ｂ　素朴に解いている子

全体発表とそれぞれの考えの関連付け

※Ｃ１、Ｃ２、Ｃ３のそれぞれが発表をする。

Ｃ１
縦12ｃｍ、横18cmの長方形に１辺が１㎝、２㎝、３㎝……を実際にかいて調べていきました。すると、12cmからそれぞれいくつとれるかと考えていけばいいと分かりました。

Ｃ２
縦12㎝に１㎝、２㎝……がいくつとれるかということを式にすると、12÷１＝12、12÷２＝６なります。つまり、12はどんな数で割り切れるのかを考えていきました。

Ｃ３
12の約数は１・２・３・４・６・12です。18の約数は１・２・３・６・９・18です。正方形を敷き詰めるので、縦と横で同じ長さになっている数が１辺の長さになります。縦と横に敷き詰められる１辺の長さは１・２・３・６㎝ということが分かりました。

隙間なく敷き詰められるのは、正方形の１辺の長さが何㎝のときですか。

〈Ｃ１〉私は、縦12ｃｍ、横18cmの長方形に１辺が１㎝、２㎝、３㎝……を実際にかいて調べていきました。すると、12cmからそれぞれいくつとれるかと考えていけばいいと分かりました。１辺が、縦は、１・２・３・４・６・12㎝のときに敷き詰められます。

僕も、Ｃ１さんと同じように、図をかいて考えました。例えば正方形の１辺（縦の長さ）が１㎝なら、縦12㎝から１㎝が12回とれます。縦12㎝から２㎝は６回とれます。

同じように考えていくと、縦12㎝から３㎝は４回、縦12㎝から４㎝は３回、縦12㎝から６㎝は２回、縦12㎝から12㎝は１回とれるということです。

Ｃ１さんたちが説明していることは、どういうことなのでしょうか。

〈Ｃ２〉縦12㎝に１㎝、２㎝……がいくつとれるかということを式にすると、12÷１＝12、12÷２＝６になります。つまり、12はどんな数で割り切れるのかを考えています。

12は１・２・３・４・６・12で割り切れます。この数を12の約数と言います。

約数を求めればいいということは分かったけれど、１から12まで、１つずつ割っていきながら調べるのは面倒だと思いました。

割っているということは、逆に言うと、12はかけ算の積になっているということです。だから、積が12になるかけ算の組み合わせを探せば、約数を見付けやすいと思います。

それはどういうことですか。わり算とかけ算が逆の計算だということは分かるけど……。

12がどんな数で割り切れるかというと、12÷１＝12、12÷２＝６、12÷３＝４、12÷４＝３、12÷６＝２、12÷12＝１になります。割る数と商の関係が12の積になっているということです。

つまり、12の約数を見付けるということは、割る数と商の積が12になるかけ算の組み合わせを見付ければいいということなんだね。

12の約数の関係に気付きました。

この関係を使って、横の長さである18の約数も見付ければいいということですね。

Ｃ３さんは、どのように求めましたか。

〈Ｃ３〉12の約数は１・２・３・４・６・12です。18の約数は１・２・３・６・９・18です。正方形を敷き詰めるので、縦と横で同じ長さになっている数が１辺の長さになります。縦にも横にも敷き詰められる１辺の長さは１・２・３・６㎝ということが分かりました。

12と18の共通な約数を見付ければいいんだね。

12と18の共通な約数を12と18の公約数と言います。また、公約数のうちで一番大きい数を最大公約数と言います。

12と18の公約数は１・２・３・６で、最大公約数が６ということですね。

学習のまとめ

今日の学習でどのようなことを学びましたか。

約数は割り切れる数で、かけ算の積で考えると見付けやすいと分かりました。わり算とかけ算の関係になっていると気付きました。

共通な約数（公約数）を見付けることで、長方形の画用紙に１辺何㎝の折り紙（正方形）が敷き詰められるかを求められると分かりました。

12と18以外の長さの長方形でも、整数であれば必ず敷き詰められる１辺の長さは１㎝になります。

約数は、かけ算の組み合わせなので１は必ず入ります。だから、どの整数でも１は必ず約数だと分かりました。

最大公約数を見付ければ、敷き詰められる最も大きい正方形を見付けることができるということが分かりました。

評価問題

16と24の約数、公約数、最大公約数を求めましょう。

子供に期待する解答の具体例

16の約数：１×16　２×８　４×４
24の約数：１×24　２×12　３×８　４×６
公約数：１・２・４・８
最大公約数：８

感想例

約数の見付け方（特徴）が分かりました。他の数でも見付けてみたいです。
12という数を約数という視点で捉えることができました。１・２・３・４・６・12は12の約数だけれど、12は１・２・３・４・６・12の倍数だと気付きました。
１辺の長さが最も大きくなる正方形を探すためには最大公約数を見付ければよいので、効率よく見付けるには、どうしたらよいか次の時間に考えたいです。
12と18ではない他の数の公約数と最大公約数を見付けてみないと確かとは言えないけれど、公約数１・２・３・６は最大公約数６の約数になっています。これは12と18だから言えたことなのか、次の時間に調べてみたいです。