小5算数「□と△を使った式」指導アイデア《伴って変わる2つの数量の関係を、□や△を使った式に表す》

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1人1台端末時代の「教科指導のヒントとアイデア」
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小5算数「□と△を使った式」指導アイデア タイトル

執筆/富山市立保内小学校教諭・高井慈美
監修/文部科学省教科調査官・笠井健一
   前・富山県南砺市立福光東部小学校校長・中川愼一

年間指導計画 □と△を使った式

単元の展開


第1時 伴って変わる2つの数量の関係に着目し、その関係を□や△を使った式で表す。(□×3+1=△となる関係について)

第2時(本時)これまでに学習してきた伴って変わる2つの数量の関係を、□や△を使った式に表す。(□×4=△となる関係〈比例〉について)

第3時 □や△を使った式をよみ、2つの数量の関係を表に表して考えたり、具体的な場面を考えたりする。(□+△=12、□-2=△など)

●第1時のまとめ

・伴って変わる2つの数量の関係を見付けると、数が大きくなっても本数を求めることができる。

・□や△を使った式に表すと、伴って変わる2つの数量の関係が捉えやすくなる。

●第2時のまとめ

・これまでに学んできた伴って変わる2つの数量の関係も、□や△を使って式に表すと、数量の関係が分かりやすくなる。

●第3時のまとめ

・□や△を使った式をよむと、1つの同じ式でもさまざまな2つの数量の関係を考えることができる。

本時のねらい

伴って変わる2つの数量の関係を表にまとめ、表から読み取れる2つの数量の変化の仕方を基に、対応の関係を見いだし、□や△を使った式に表すことを考える。

評価規準

表から読み取れる2つの数量の変化の仕方を基に、対応の関係を見いだし、□や△を使った式に表現している。(思考・判断・表現)

本時の展開

問題
長さの等しいぼうで、下のように正方形のだんをつくり、大きくしていきます。正方形のだんを10だんつくるとき、周りを囲むぼうは何本いりますか。
図表1

(前時のふり返り)前の時間に、長さの等しい棒で正方形を並べていき、正方形を□個つくるとき、棒は何本いるかを考えましたね。

図表2

棒の数を数えなくても、2つの数の変わり方のきまりを見付けて式に表すと、数が大きくなっても本数を求められて便利だったよね。

式に表すと、伴って変わる2つの数の変化や対応の特徴が分かったよね。

それでは今日は、長さの等しい棒を使って、他の形をつくってみます。長さの等しい棒で、図のように、1段、2段、3段…・・と正方形を積んで階段の形をつくっていきます。段の周りを棒でつくります。10段つくるときの棒の数は分かりますか。

図表3

1段だったら4本。2段だったら8本。3段だったら(少し考えて)12本。

4段くらいまでだったら数えられるけれど、10段をかくのも数えるのも大変ね。

何かきまりを見付けたら、すぐに分からないかな。 

そうそう。前の時間にやったように、段の数と周りの棒の数の関係のきまりを考えるといいね。

段が増えると、周りの棒の数は増えていくけど、段の部分がでこぼこしていて分かりにくいね。

前の時間にやったように、表に表してみようかな。

図表4

それだったら、式にもできるといいよね。

2つの数の変化の様子や対応のきまりを見付ければ、式に表すことができる。そうすれば、すぐに10段のときの棒の数が求められそうだよ。

段の数を□にして、段の数につれて増えていく棒の数は△にして式を表してみよう。

それでは、伴って変わる2つの数量である段の数と棒の数の変化や対応のきまりを見付けて、□と△を使った式に表して考えていきましょう。

学習のねらい
10段の場合を知るために、伴って変わる数量の関係を□や△を使った式に表して考えよう。
(段の数)→ □  (棒の数)→ △     

見通し

正方形を階段のように積んでいく図をかいて考えよう。(方法の見通し)

階段のような図のでこぼこをなおして、正方形と見て考えよう。(方法の見通し)

段の数と棒の数の関係を表に表して、2つの数の関係を考えよう。(方法の見通し)

□(段の数)と△(棒の数)として、□と△の関係を式に表そう。(結果の見通し)

2つの数の関係を式に表して、どんな数でも分かるようにしよう。(結果の見通し)

自力解決の様子

A つまずいている子
□が10段のときは4×10で40本 
・階段状の図をかいて、1本ずつ数えて、40本を求めている。
・数えて求めた40本をよりどころに、40本と10段から、式を立てようとしている。
  ↓
10段の場合を求めるだけで考えが止まっている。


B 素朴に解いている子
式は10×4で、□が10段のときは40本 
・一辺の長さが10の正方形をかいて、10×4=40と求めている。
  ↓
「正方形の周りの長さは一辺の4倍」ということから「棒の数は段の数の4倍」ということにつなげて考え、□や△を使った式に表そうとしている。


C ねらい通り解いている子
式に表すと、□×4=△
表をつくって、

図表5

・どの数でも、□の4倍が△になっている。
・式は、□×4=△
・□×4=△だから、□が10のとき、△は40
・段の数が10のとき、10×4で棒の数は40本
  ↓
□と△は比例していること、比例の関係も□と△で表すことができることに着目している。

学び合いの計画

本単元では、伴って変わる2つの数量を、□や△を使った式に表すことのよさを感じることが大切です。そして、本時(2/3時)では、既習事項である「比例」の関係も□や△を使った式に表すことができるのかを考えていきます。この学習は、第6学年の「文字式」の学習や中学校の関数の学習にもつながる大切な単元です。

まず、子供たちが「難しそうだけれどやってみたい。いい方法を見付けたい」と主体的に取り組むことができるように、子供たちの実態に合った問題の提示が大切です。第1時から少し発展した問題に手応えを感じながら、問題に取り組んでいくでしょう。そして、問題解決の場では、自分で解決する方法を選択しながら学習を進めることができる学習の積み重ねが大切です。分からないときには、友達や教師に聞いたり、教科書やインターネットで調べたりする自己解決の方法も学んでおくとよいでしょう。

本時では、特に2つの数の変化や対応の様子を図や表で表すことがポイントになります。図や表から伴って変わる2つの数量の変化の特徴を見付け、それを式や言葉で表すことで、既習事項である比例の関係にあることに気付くでしょう。比例も□や△の式で表せるのかなと考えを深めていきましょう。

1人1台端末活用ポイント

一人一人が考えたことを画面共有することができると、一人一人の発表の時間を取らずに、子供たちどうしが友達の意見を基にして考えを加えたり見直したりすることができます。つまずいている子供にとってはヒントになり、安心して学習を進めることができるでしょう。また、教師としても、子供たちの考えを基にアドバイスをしたり、子供たちの考えの傾向を理解したりしやすくなります。

本単元では、伴って変わる2つの数を表した表や、変化の様子を表した図、そして、自分なりに考えた□と△を使った式を共有することがポイントになり、子供たちが関わって学び合うきっかけになります。□の値だけを入れてある表や、1段、2段、3段くらいまでの図を準備しておくと、子供たちはどんどん次の数を知りたくなり、わくわくしながら考えたくなるきっかけになるでしょう。

ノート例

A つまずいている子

ノート例1

B 素朴に解いている子

ノート例2

全体発表とそれぞれの考えの関連付け

段を1段ずつ増やしていくと、周りのぼうの数は、どのように変わっていくか考えましたね。10段のとき、周りの棒の数は何本になるか分かりましたか。

 図をかくと分かります。1段だったら4本、2段だったら8本、3段だったら12本。4段だったら16本。でも、10段は絵をかくのも周りの棒を数えるのも難しかったです。

図表6

段の数が増えると正方形が多くなって、周りの棒の数も複雑になるので分からなくなりました

私は友達と一緒に考えたら、いいことを見付けました。もっと簡単に棒の数を数えられないかを考えました。この図を見てください。階段みたいにでこぼこしていたら棒の数が分かりにくいから、矢印のように動かして考えました。そうしたら、正方形になり、棒の数が分かりやすいです。

図表7

階段のでこぼこな形を、正方形に直して考えるんだね。

正方形の1辺の棒の数は、1段だったら1本、2段だったら2本になって数えやすいね。

段の数が、1辺の棒の数になるんだね。

正方形の周りの長さは、1辺の長さの4倍だよね。棒の数も1辺の数の4倍になるね。

つまり、□と△を使った式をつくると、□を段の数、△を棒の数にすると、□×4=△。

式にすると、10段のときもすぐに分かるね。10×4=40だから40本になるね。

図で考えをかくと分かりやすいね。

図をかくよりも簡単な方法はないかな。

僕は表に表したよ。表に書いたほうがもっと増え方が分かりやすくなったよ。

図表8

段の数(□)が1のとき、棒の数(△)が4本。□が2のときは△が8。3のときは12。4のときは16。1つの数に対応する数が分かるね。

表を横に見ると、段の数(□)が2倍になったら、棒の数も2倍。そして、段の数が3倍になったら、棒の数も3倍になっていたよ。

棒の数(△)が1増えると、段の数(□)が4ずつ増えているね。

そうそう。これは、前に学習した比例の関係だね。

段の数と、棒の数が比例の関係になっているんだね。

比例の関係も□と△を使った式にしてもよいのかな。

段の数と棒の数が比例しているということを、段の数を□、棒の数を△と言葉を置き換えるだけだから大丈夫だと思うよ。

「段の数と棒の数が比例の関係」と「□と△が比例の関係」は、まったく同じことだと思うよ。

ところで、表を縦に見ると、棒の数(△)は、いつも段の数(□)の4倍になっているよ。

□の4倍が△になっているから、式に表すと、□×4=△。

つまり、10段のときの棒の数は、10×4=40で、40本です。

もっと段が増えてもすぐに求められるね。

もし、100段つくるときには何本いるのかな。

簡単! 100×4=400。400本あればつくれるよ。

2つの数の関係を式に表すって、便利だね。  

比例の関係も□や△を使った式に表せることに気付きましたね。それに、伴って変わる2つの数の関係を、□や△を使って式に表すと、数量の関係が分かりやすくなるし、数が大きくなっても求められるから便利だと分かりましたね。自分たちで、問題を解決できてすごいね。

学習のまとめ

式に表すと、□×4=△
→10×4=40
10段のときは、40本
・段の数と棒の数は、比例の関係
・比例の関係も、□や△を使った式に表すことができる。
※比例の関係も、前の時間の□×3+1=△の関係のように、□と△を使った式に表すことができた。

下矢印

これまでに学んできた伴って変わる2つの数量の関係も、□や△を使って式に表すと、数量の関係が分かりやすくなる。
※表を縦に見ると、□や△を使って式に表すことができた。

評価問題

長さの等しいぼうで、図のように正三角形をつくり、積み上げていきます。だんの数を□、周りのぼうの本数を○として表にまとめて、どんな式になるかを考えましょう。

図表9

子供に期待する解答の具体例

図表10

・□が2倍、3倍……になると、それに伴って○も2倍、3倍……になっている。
・□が1ずつ増えると、○は3ずつ増えている。
・1辺の長さが1増えると、周りの長さは3増えるということ。
・□の3倍が○。
・□と○は比例の関係であると言える。
→式に表すと、□×3=○

本時の評価規準を達成した子供の具体の姿

表から読み取れる段の数と棒の数の変化の仕方を基に、対応の関係を見いだし、□や○を使った式に表現している。

感想

  • 比例の関係にある2つの数も、□や△を使った式で表すことができると分かりました。
  • 2つの数の変化の特徴を知るときには、見ただけでは分かりにくい関係でも、図や表に表して、横や縦の関係を考えればよいということを考えました。
  • 式に表すと2つの数の関係が分かり、大きな数になっても求められて便利だと思いました。
  • 比例の関係も式に表すことができたので、ほかの関係も式に表してみたいです。そして、式に表した後、大きな数を考えてみたいです。
  • 身近な生活のなかから、自分でも問題をつくって、□や△を使った式に表して考えてみたいです。
  • □や△を使った式で表したことで、比例の見方が深まりました。一方が2倍、3倍、4倍……になれば、もう一方も2倍、3倍、4倍……になる関係というのは、掛ける数が決まっている関係と言えるのではないかなと思います。

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コラム

学習指導要領のA⑹とC⑴
学習指導要領の第5学年「A数と計算」領域の(6)には、「数量の関係を表す式」について数量の関係を式に表すことや、その式をよむことの観点から記述されています。「C変化と関係」領域の(1)には、「伴って変わる二つの数量の関係」について数量の間の変化や対応の特徴を捉えるという観点から記述されています。具体的に見ていくと、例えば、「思考力、判断力、表現力等」を身に付けることに関する記述は次のように示されています。

A⑹
二つの数量の対応や変わり方に着目し、簡単な式で表されている関係について考察すること。
C⑴
伴って変わる二つの数量を見いだして、それらの関係に着目し、表や式を用いて変化や対応の特徴を考察すること。

当然、両者には密接なつながりがあります。「簡単な式で表されている関係」と「変化や対応の特徴」とが、別のものを指しているわけではありません。また、子供たちの学びは、両者を一体のものとして深まっていきます。

このため、指導に当たっては、両者の内容を十分に把握したうえで、式の面からの学びと変化の特徴の面からの学びとをバランスよく深めていけるように配慮していくことが大切です。

第5学年 評価規準
A⑹「数量の関係を表す式」

評価規準 A⑹

C⑴「伴って変わる二つの数量の関係」

評価規準 C⑴

イラスト/横井智美

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