小５算数「割合」指導アイデア《比較量と割合から基準値を求める》

特集: 1人1台端末時代の｢教科指導のヒントとアイデア｣

2024.02.16

単元の展開

第１時　シュートの入った回数とシュートした回数の関係に着目し、一番よく成功した人の比べ方を考える。
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第２時　シュートの入った回数とシュートした回数の関係に着目し、倍の意味を基にして、割合を用いた２つの数量の関係の比べ方について考える。
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第３時　２つの数量の関係に着目し、百分率や歩合での表し方を考える。
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第４時　基準量、比較量、割合の関係に着目し、基準量と割合から比較量を求める方法を考える。
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第５時（本時）基準量、比較量、割合の関係に着目し、比較量と割合から基準量を求める方法を考える。
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第６時　割合の適用問題に取り組む。
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第７時　和や差を含んだ割合の表現に着目し、基準量と割合から比較量を求める方法を考える。
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第８時　学習内容の生活への活用
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第９時　学習内容の習熟・定着

本時のねらい

基準量、比較量、割合の関係に着目し、比較量と割合から基準量を求める方法を図や式などを用いて考える。

評価規準

日常の事象における数量の関係のなかから、基準量、比較量、割合の関係に着目し、比較量と割合から基準量を求める方法について図や式などを用いて考え、説明している。（思考･判断･表現）

本時の展開

きょう、公園に来た子供は12人で、きのうの1.5倍の人数です。きのう、公園に来た子供は何人だったでしょう。

　関係を図で整理する
割合の学習では、問題の提示の仕方がとても大切です。というのも、問題場面をしっかりとイメージし、基準量と比較量の関係を捉えることができれば、おおむね解決に向かうことができるからです。問題を提示する際には、子供と一緒に基準量と比較量の関係を図に表しながら、問題場面をていねいに確認していくのがよいと思います。

「きのう」と「きょう」の人数の問題ですね。まず、「きのう」と「きょう」を書きましょう。

「きょう」は、「きのう」の何倍ですか。

1.5倍です。

「きのう」の「1.5倍」が「きょう」ですね。「きのう」と「きょう」の間の矢印に、「1.5倍」を書き入れましょう。

「きょう」来たのは、何人ですか。

12人です。

では、「きょう」に「12人」と書きましょう。

「きのう」来た人数は、まだ分かりませんから、「□人」としましょう。

　簡潔な文にして音読する
関係を図に表すことができたら、関係の図を声に出して読みます。
１回目は、言葉を使って、「きのうの1.5倍がきょう」とみんなで読みます。
２回目は、数を使って、「□人の1.5倍が12人」とみんなで読みます。
大きな声で口にすることで、子供たちは関係を捉えやすくなるのです。

それでは、関係の図を声に出して読みますよ。後に続いて言ってみましょう。きのうの1.5倍がきょう。

※子供たち全員が「きのうの1.5倍がきょう」と声を出す。

今度は数で言いますよ。□人の1.5倍が12人。

※子供たち全員が「□人の1.5倍が12人」と声を出す。

　前の時間との違いを明確にする
子供たちが関係を捉えたところで、第４時までに解いてきた問題の図を見せ、今回の問題とこれまでの問題との違いを尋ねます。

さあ、どんな問題なのか、分かりましたね。では、今日の問題は、これまでの問題とどこが違いますか。

今日の問題は、基にする量を求める問題になっています。

そうですね。今日は基にする量の求め方を考えていきましょう。

基にする量の求め方を考えよう。

見通し

1.5倍が12人だから、答えは12人よりは少ない。（答えの見通し）

□の1.5倍が12になる。（方法の見通し）

12÷1.5で求めることができそう。（方法の見通し）

自力解決の様子

A　つまずいている子
・どちらを基準量とするのかが、はっきりしていない。
・1.5倍の「倍」につられて、かけ算を考えている。
　12×1.5＝18

Ｂ　素朴に解いている子
・前時(第４時)に学習した「基準量×割合＝比較量」を基にして考えている。
　□×1.5＝12
　12÷1.5＝８

Ｃ　ねらい通り解いている子
・比較量と割合から基準量を求める方法について考えている。
　12÷1.5＝８

学び合いの計画

①求め方の比較

学び合いでは、まず、それぞれの求める方法を紹介し合います。

一番多い方法は、□を使って、□×1.5＝12としてから、□＝12÷1.5だと考える方法でしょう。この方法は、前時に学習した「基準量×割合＝比較量」に当てはめ、分からない数を□を用いて表すことで、数量の関係が捉えやすくなるというよさがあります。

また、なかには、関係の図を逆から読んで、わり算の式を立てられる子供もいることでしょう。1.5倍して12になったのだから、12を1.5で割ればきのうの人数が分かるという考え方です。このやり方には、求める基準量を素早く捉えられるというよさがあります。

どちらも大切したい考えです。

②誤答との比較

上に記した２つのやり方は、いずれも正しいやり方です。しかし、正しいやり方ばかりを紹介していては、本当の理解にはつながりません。誤答を紹介し、それが間違っている理由を説明したり、正しい方法に修正したりすることで、さらに理解が深まるのです。

ここでは、12×1.5という誤答の例を紹介します。子供のなかには、こういう間違いをする子が多くいるからです。12を1.5倍しているのか、それとも1.5倍されたのが12なのかを、なかなか捉えられないのです。

誤答例を紹介して、間違っている理由を説明し合うことは、つまり、「基にする量が何なのか」について考えるということです。この考えが、割合の問題を解く際の基本になるのです。

ノート例

Ａ　つまずいている子

Ｂ　素朴に解いている子

全体発表とそれぞれの考えの関連付け

①求める方法の比較

　□×1.5＝12だから、12÷1.5をして８だと分かりました。

僕は□を使わず、すぐに12÷1.5という式にしました。

□を使った人と使わなかった人がいるんですね。□を使った人は、どうして使ったのですか。

□の1.5倍が12だから、それをそのまま式にして、□×1.5＝12にしました。

□を使った式に表すと、考えやすくなりました。

□を使わなかった人は、どうして使わなかったのですか。

式が１つで楽だからです。

□を使わなくても、関係図を逆に見れば分かりました。□に1.5を掛けたのが12だから、その逆で、12を1.5で割れば□になります。

なるほど。どちらもよさがありますね。みなさんは、どちらのほうがやりやすそうですか。自分に合ったやり方で解いていきましょう。

②誤答との比較

この問題を見たときに、12×1.5という式にしたくなるのですが、この式で基にする量は求められますか。

求められません。「きょう」の12人を1.5倍しても「きのう」の人数にはなりません。

どうして、12×1.5という式にしたくなるのだと思いますか。

きっと、問題文に1.5倍と書いてあるから、1.5を掛けたくなるのだと思います。

では、どうして、12×1.5ではだめなのでしょうか。だめな理由を説明してみましょう。

この問題は、12人を1.5倍するのではなくて、1.5倍して12人になる問題だからです。

基になる量は、きょうではなく、きのうの人数だからです。

学習のまとめ

※図に表すと、数量の関係がとらえやすい。

「きのう」の1.5倍が「きょう」。
□人の1.5倍が12人。　　　
□×1.5＝12
□＝12÷1.5

※□を使うと、数量の関係を表しやすい。

｢もとにする量」が分からないときも、「比べる量」が基にする量の「何倍」になっているかを考えれば、求めることができる。

評価問題

いちごアイスの特売日です。きょうのねだんは、いつものねだんの0.5倍になります。そのため、きょうのいちごアイスのねだんは、150円です。いつものいちごアイスのねだんはいくらですか。
答えを求める方法を友達にどのように説明したらよいですか。その方法を書きましょう。

子供に期待する解答の具体例

・何が何の何倍かをはっきりさせます。
・そのために、数の関係を図に表します。

・「いつもの0.5倍がきょう」です。
・「□円の0.5倍が150円」です。
・□を求める式は、150÷0.5です。
　150÷0.5＝300
・答えは、300円です。

本時の評価規準を達成した子供の具体の姿

基準量、比較量、割合の関係に着目し、比較量と割合から基準量を求める方法について図や式などを用いて考え、説明している。

感想例

基にする量が分からなくても、比べる量や割合から求めることができると分かりました。
割合は基にする量と比べる量の関係だから、どれかが分からなくても、あとの２つが分かれば求められるんだと思います。速さ、道のり、時間の関係にも似ていると考えました。
基にする量を求めるのは難しかったけれど、関係図に表したり、□を使った式に表したりすると、考えやすくなりました。
基にする量は何なのか、関係をしっかり捉えることが大切だと思いました。図をうまく使って、数量の関係を捉えていきたいと思います。
わり算には、「１あたりの大きさを求めるわり算」と「何倍かを求めるわり算」があります。基にする大きさを求めるというのは、「１あたりの大きさを求めるわり算」を使っているということなんだなと思いました。

ワークシート（ダウンロード可）

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