小５算数「分数のたし算とひき算」指導アイデア《分母の異なる分数の大きさ比べ》

特集: 1人1台端末時代の｢教科指導のヒントとアイデア｣

2023.12.04

単元の展開

第１時　異分母分数の加減計算について、単位分数に着目して、分母をそろえて計算することの意味を考える。
▼
第２時　分数の性質を捉え、大きさの等しい分数の見付け方を考える。
▼
第３時（本時）分母の公倍数に着目し、「通分」のしかたを考え、分数の減法計算をする。
▼
第４時　分母の公倍数に着目し、３つの分数の通分のしかたを考える。
▼
第５時　分数の加法計算の和について、分母と分子の公約数に着目し、「約分」のしかたを考える。
▼
第６時　前時の適用問題。
▼
第７時　分数の意味や表現に着目し、分数の加減計算のしかたをまとめる。
▼
第８時　分数の意味や表現に着目し、帯分数の加減計算のしかたを考える。
▼
第９時　分数の意味や表現に着目し、分数と小数の混じった加減計算のしかたを考える。
▼
第10時　分数を用いた時間の表し方を考える。
▼
第11時　学習内容の習熟・定着。

本時のねらい

分数の意味や表現に着目し、分母の異なる分数の大きさの比べ方を考える。

評価規準

分数の意味や表現に着目し、分母の異なる分数の大きさの比べ方を考えている。（思考･判断･表現）

本時の展開

[MATH]\(\frac{2}{3}\)[/MATH]と[MATH]\(\frac{3}{5}\)[/MATH]の大きさを比べましょう。

[MATH]\(\frac{2}{3}\)[/MATH]と[MATH]\(\frac{3}{5}\)[/MATH]では、分母が３と５で違う数だから比べられないね。

では、どういう分数だったら比べることができますか。

分母が同じ分数だったら比べられます。

じゃあ、[MATH]\(\frac{2}{3}\)[/MATH]や[MATH]\(\frac{3}{5}\)[/MATH]とそれぞれ等しい分数を考えていって、分母が同じ分数を探していけば比べられるのではないかな。

そうだね。前の学習でやったように、分母と分子に同じ数を掛けていって、両方の分母が同じになるかどうか探してみよう。

分母が違う分数の大きさを比べる方法を考えよう。

見通し

分母が違う分数の大きさを比べるには、両方の分母を同じにすればよい。(方法の見通し)

両方の分母を同じにするには、公倍数を使えばよさそうだ。(方法の見通し)

分母を公倍数にするには、分母と分子に同じ数を掛けたらできそうだ。(結果の見通し)

自力解決の様子

A　つまずいている子

[MATH]\(\frac{2}{3}\)[/MATH]や[MATH]\(\frac{3}{5}\)[/MATH]と等しい分数を列挙して等しい分母のものを探していくが、列挙する数が少なくて見付からずに困っている。２倍を繰り返している。

・[MATH]\(\frac{2}{3}\)[/MATH]と等しい分数：　[MATH]\(\frac{4}{6}\)[/MATH]、[MATH]\(\frac{8}{12}\)[/MATH]、[MATH]\(\frac{16}{24}\)[/MATH]

・[MATH]\(\frac{3}{5}\)[/MATH]と等しい分数：　[MATH]\(\frac{6}{10}\)[/MATH]、[MATH]\(\frac{12}{20}\)[/MATH]、[MATH]\(\frac{24}{40}\)[/MATH]

Ｂ　素朴に解いている子

[MATH]\(\frac{2}{3}\)[/MATH]や[MATH]\(\frac{3}{5}\)[/MATH]と等しい分数を列挙していき、等しい分母のものを探して考えている。

・[MATH]\(\frac{2}{3}\)[/MATH]と等しい分数：　[MATH]\(\frac{4}{6}\)[/MATH]、[MATH]\(\frac{6}{9}\)[/MATH]、[MATH]\(\frac{8}{12}\)[/MATH]、[MATH]\(\frac{10}{15}\)[/MATH]、[MATH]\(\frac{12}{18}\)[/MATH]、[MATH]\(\frac{14}{21}\)[/MATH]、[MATH]\(\frac{16}{24}\)[/MATH]、[MATH]\(\frac{18}{27}\)[/MATH]、[MATH]\(\frac{20}{30}\)[/MATH]

・[MATH]\(\frac{3}{5}\)[/MATH]と等しい分数：　[MATH]\(\frac{6}{10}\)[/MATH]、[MATH]\(\frac{9}{15}\)[/MATH]、[MATH]\(\frac{12}{20}\)[/MATH]、[MATH]\(\frac{15}{25}\)[/MATH]、[MATH]\(\frac{18}{30}\)[/MATH]、[MATH]\(\frac{21}{35}\)[/MATH]

Ｃ　ねらい通り解いている子

[MATH]\(\frac{2}{3}\)[/MATH]と[MATH]\(\frac{3}{5}\)[/MATH]の分母に着目し、３と５の公倍数の15が分母になるように[MATH]\(\frac{2}{3}\)[/MATH]の分母と分子に５を掛けて、[MATH]\(\frac{3}{5}\)[/MATH]の分母と分子に３を掛けて、分母を15にそろえて分子の大きさを比べている。

・[MATH]\(\frac{2}{3}\)[/MATH]と等しい分数：　[MATH]\(\frac{2×5}{3×5}\)[/MATH]　＝　[MATH]\(\frac{10}{15}\)[/MATH]

・[MATH]\(\frac{3}{5}\)[/MATH]と等しい分数：　[MATH]\(\frac{3×3}{5×3}\)[/MATH]　＝　[MATH]\(\frac{9}{15}\)[/MATH]

学び合いの計画

本時の導入では、｢分母が等しければ、分子どうしで大きさを比べることができる」ことを軸とした展開にしています。

子供たちのなかには、｢分子が等しければ分母が小さいほうが大きい」という考え方を生かそうとする子供もいるかもしれません。

本時の場合は、（[MATH]\(\frac{2}{3}\)[/MATH]、[MATH]\(\frac{3}{5}\)[/MATH]）を（[MATH]\(\frac{6}{9}\)[/MATH]、[MATH]\(\frac{6}{10}\)[/MATH]）と見て、分母の９と10を比べることになります。

しかし、分子をそろえる比べ方では、分母の小さいほうが大きいため、いつも用いるためには現実的ではありません。アイデアを認める程度の扱いが無難でしょう。

学び合いの場では、「①２つの分数の分母と分子にそれぞれ１倍、２倍、３倍……と掛けていき、分母が等しい分数を探すやり方」、「②２つの分数の分母の公倍数になるようにそれぞれの分母と分子に数を掛けて、等しい分数を求めるやり方」を、意図的指名をして順番に取り上げるとよいでしょう。

そうすることで、何に着目すると簡潔に求められるのかが授業の流れのなかで明確になります。

また、子供たちの考えを板書に整理してポイントが明確になるように支援すると、視覚的にも捉えやすくなるでしょう。

子供たちどうしが対話的な学びのなかで理解を深めていけるように、学び合いの場を整理していくという教師の役割を発揮していくことが大切です。

さらに授業の終末では、適用問題を活用して解き方を追体験させ、その後に上記の①のやり方で解いていた子供に、②のやり方でやった感想などを書かせたり述べさせたりするとよいでしょう。そうすることで、解き方のよさを実感したり考えの変容を認識したりできます。

１時間の授業を通して、子供たちが「分かる」｢できる」｢気付く」｢実感する」という経験を積み重ねられるようにすることが大切です。

ノート例

Ａ　つまずいている子

Ｂ　素朴に解いている子

全体発表とそれぞれの考えの関連付け

私は、[MATH]\(\frac{2}{3}\)[/MATH]と等しい分数を順番に探していきました。そうすると、[MATH]\(\frac{4}{6}\)[/MATH]、[MATH]\(\frac{6}{10}\)[/MATH]、[MATH]\(\frac{8}{12}\)[/MATH]、[MATH]\(\frac{10}{15}\)[/MATH]などがありました。次に、[MATH]\(\frac{3}{5}\)[/MATH]と等しい分数を順番に探していきました。そうすると、[MATH]\(\frac{6}{10}\)[/MATH]、[MATH]\(\frac{9}{15}\)[/MATH]、[MATH]\(\frac{12}{20}\)[/MATH]などがありました。これらを比べると、[MATH]\(\frac{10}{15}\)[/MATH]と[MATH]\(\frac{9}{15}\)[/MATH]が分母の等しい分数になるので、分子を比べると[MATH]\(\frac{10}{15}\)[/MATH]のほうが大きい数だと分かります。だから[MATH]\(\frac{2}{3}\)[/MATH]のほうが大きい数だと分かります。

なるほど。

僕は、もっと楽な方法でやったよ。

どんな方法ですか。

[MATH]\(\frac{2}{3}\)[/MATH]と[MATH]\(\frac{3}{5}\)[/MATH]の分母の３と５に注目し、この２つの数の公倍数になるように２つの分数の分母と分子に数を掛けて考えました。３と５の公倍数は、15、30、45なので、[MATH]\(\frac{2}{3}\)[/MATH]と[MATH]\(\frac{3}{5}\)[/MATH]の分母が15、30、45になるようにしました。そうすると、[MATH]\(\frac{10}{15}\)[/MATH]と[MATH]\(\frac{9}{15}\)[/MATH]、[MATH]\(\frac{20}{30}\)[/MATH]と[MATH]\(\frac{18}{30}\)[/MATH]、[MATH]\(\frac{30}{45}\)[/MATH]と[MATH]\(\frac{27}{45}\)[/MATH]で、どれも[MATH]\(\frac{2}{3}\)[/MATH]と等しい分数のほうが大きくなっているから、[MATH]\(\frac{2}{3}\)[/MATH]のほうが大きい数だと分かります。

今の話を聞いていて思ったのだけれど、それなら分母をいちばん小さい15で比較すればよいのではないかな。

なるほど。そうすれば、確かめる数も減るし、数も大きくないから計算ミスも減って楽になるね。

どういうことですか。

３と５の最小公倍数は15だから、[MATH]\(\frac{2}{3}\)[/MATH]と[MATH]\(\frac{3}{5}\)[/MATH]の分母を最小公倍数の15にして、比べるだけでよいということです。掛ける数を大きくすると、計算ミスして正しく比べられない可能性もあるから、今回の場合は分母を最小公倍数の15で考えるとよいと思ったということです。

なるほど。そういうことか。

みんながやってきた、分母が同じ分数に直すことを「通分」すると言います。この言葉も覚えておきましょうね。

学習のまとめ

[MATH]\(\frac{2}{3}\)[/MATH]と[MATH]\(\frac{3}{5}\)[/MATH]の大きさを比べるには、[MATH]\(\frac{10}{15}\)[/MATH]と[MATH]\(\frac{9}{15}\)[/MATH]にして考えるとよい。

通分は、

①両方の分母の公倍数を見付ける。
②分母を公倍数の大きさにしたので、分子もそれに合わせて大きくする。

という手順でする。

評価問題

[MATH]\(\frac{4}{5}\)[/MATH]と[MATH]\(\frac{5}{7}\)[/MATH]の大きさを比べる方法を説明しましょう。

＜解答＞
・[MATH]\(\frac{4}{5}\)[/MATH]と[MATH]\(\frac{5}{7}\)[/MATH]の分母を同じにする。(通分する)

・分母の５と７の公倍数は、35。

・[MATH]\(\frac{4}{5}\)[/MATH]の分母を35にするために、分母と分子に７を掛ける。（[MATH]\(\frac{4×7}{5×7}\)[/MATH]＝[MATH]\(\frac{28}{35}\)[/MATH]）

・[MATH]\(\frac{5}{7}\)[/MATH]の分母を35にするために、分母と分子に５を掛ける。（[MATH]\(\frac{5×5}{7×5}\)[/MATH]＝[MATH]\(\frac{25}{35}\)[/MATH]）

・分子の28と25を比べると、28のほうが大きい。

・だから、[MATH]\(\frac{28}{35}\)[/MATH]＝[MATH]\(\frac{4}{5}\)[/MATH]のほうが大きい。

本時の評価規準を達成した子供の具体の姿

分母の大きさや分数の性質に着目し、２つの分数の大きさを通分によって比べる方法について説明している。　

感想例

分数は、分母が違っても「通分」すれば、大きさを比べられるということが分かりました。
それぞれの分母を公倍数になるようにしてそろえることを通分と言うことが分かりました。
分母はできるだけ小さいほうがよいので、最小公倍数に通分したほうが楽に比べられると考えました。
どのような分数でも、｢通分」すれば比べることができるようになるので便利だと思いました。
これまでは無理だと思っていた分母の違う分数でも、分母を同じにする工夫で比べられるようになったので、これからもできないと思うような問題にも工夫しながら取り組んでいきたいと思いました。
分数の見方には、整数の公倍数の見方が大きく働いていました。学んだことをつなぎ合わせていくことが大切だと思いました。

ワークシート（ダウンロード可）

ダウンロードはこちら＞＞