小3算数「分数」指導アイデア《分割分数と量分数の違い》

特集: 【文部科学省教科調査官監修】1人1台端末時代の｢教科指導のヒントとアイデア｣

2022.10.15

単元の展開

第１時　１ｍを等分してできる大きさの分数による表し方
▼
第２時　単位分数を用いた分数の表し方
▼
第３時　分数・分母・分子の意味、端数部分の大きさの分数による表し方
▼
第４時　分数を数直線上に並べ、分数を整数と同様の数として捉える。
▼
第５時　1より大きい分数の表し方
▼
第６時（本時）分割分数と量分数の違いについて理解
▼
第７時　0.1を単位とした小数と[MATH]\(\frac{1}{10}\)[/MATH]を単位にした分数の大きさの関係
▼
第８時　同分母の分数の加法・減法の計算

本時のねらい

[MATH]\(\frac{3}{4}\)[/MATH]ｍと基準量の[MATH]\(\frac{3}{4}\)[/MATH]の違いを見いだし、量分数と分割分数の違いを捉えることができる。

評価規準

基準量に着目し、単位分数の大きさを明らかにして、分数の大きさを表現する方法を考えている。

本時の展開

Ａのテープ（黄色い部分）の長さは何ｍでしょうか。

[MATH]\(\frac{3}{4}\)[/MATH]ｍです。

どうしてそう言えるのですか。

１ｍを４等分した三つ分だからです。

[MATH]\(\frac{1}{4}\)[/MATH]ｍが三つ分になるからです。

では、Ｂのテープ（黄色い部分）の長さは何ｍでしょうか。

２ｍの[MATH]\(\frac{3}{4}\)[/MATH]だから、[MATH]\(\frac{3}{4}\)[/MATH]ｍだと思います。

でも、Ａの長さと同じになってしまうよ。

分数だからいいんじゃないかな。

長さが違うのに、どちらも[MATH]\(\frac{3}{4}\)[/MATH]ｍと言っていいのかな。

Ｂのほうは何ｍと言えるのか、ちゃんと調べないといけないな。

基準量に着目し、分割分数と量分数の違いについて説明することができる。

見通し

１ｍよりも長いのだから、[MATH]\(\frac{3}{4}\)[/MATH]ｍではおかしい。（結果の見通し）

長さを分数で表すには、１ｍを基にして考えてきたよ。（解決の見通し）

ＡやＢのテープの１ｍを基にして、１つ分がいくつになるかを調べればいい。（解決の見通し）

自力解決の様子

A つまずいている子

基準量に当たる１ｍに着目できない。単位分数がいくつになるかが見いだせない。

Ｂ素朴に解いている子

Ｂのテープの１ｍに着目し、[MATH]\(\frac{1}{2}\)[/MATH]ｍがいくつ分かを考えている。

Ｃねらい通り解いている子

Ｂだけでなく、Ａのテープの[MATH]\(\frac{1}{4}\)[/MATH]ｍを使って、Ｂの長さが表せないかを考えようとしている。

学び合いの計画

１ｍの[MATH]\(\frac{3}{4}\)[/MATH]と２ｍの[MATH]\(\frac{3}{4}\)[/MATH]では、長さが明らかに異なるにもかかわらず、子供たちはどちらも[MATH]\(\frac{3}{4}\)[/MATH]ｍと捉えてしまう傾向があります。

そこで、分割分数と量分数の役割がどのように異なるのかをていねいに見いだしていく必要があります。

前時までの学習では、例えば１ｍの[MATH]\(\frac{1}{3}\)[/MATH]は[MATH]\(\frac{1}{3}\)[/MATH]ｍのように、分割操作の結果（[MATH]\(\frac{1}{3}\)[/MATH]）と量分数での表記([MATH]\(\frac{1}{3}\)[/MATH]ｍ)が一致していましたが、本時では両者にずれが生じます。そのずれを問いにして、基準量に目を向けていくことが必要です。

そのためには、長さの異なるさまざまなテープの[MATH]\(\frac{3}{4}\)[/MATH]を見せることが有効だと考えられます。どれも同じ[MATH]\(\frac{3}{4}\)[/MATH]なのに、長さが異なるのはなぜかについて考えることを通し、量分数では常に１ｍを基準量として表現していたのに対し、分割分数ではテープそのものを基準量、つまり１として考えていたことを自覚させる必要があります。

さらに、量分数と分割分数を同一の数直線上に表し、２ｍを１と見たとき、[MATH]\(\frac{3}{4}\)[/MATH]に当たる長さが[MATH]\(\frac{3}{2}\)[/MATH]ｍというように、分割分数と量分数を関連付けることで、それぞれの役割の違いを自ら説明できるようにしていくことが大切です。

ノート例

A つまずいている子

C ねらい通りに解いている子

全体発表とそれぞれの考えの関連付け

Ｂのテープの黄色い長さは何ｍになるのでしょうか。

１ｍを基にして考えると、一つ分が[MATH]\(\frac{1}{2}\)[/MATH]ｍになるので、それが三つ分で[MATH]\(\frac{3}{2}\)[/MATH]ｍです。

どうして１ｍを基にして考えたのですか。

これまでにも、１ｍを基の長さにして分数で表してきたからです。

なるほど。では、１ｍのように、１を等分して一つ分を求めてきたのは、分数だけでしたか。

小数も同じです。小数では１を10等分して、0.1を一つ分として考えてきました。

ちなみに、なぜどちらも1を基にして等分しなければならなかったのでしょうか。

1より小さい大きさを表したかったからです。

小数も分数も、同じ働きをしていたんだね。

すごい発見ですね。でも、小数と分数では、一つ分をつくるときに違いがあったのではありませんか。

小数は10等分して0.1を一つ分にしていたけれど、分数では[MATH]\(\frac{1}{2}\)[/MATH]や[MATH]\(\frac{1}{5}\)[/MATH]など、自由に一つ分をつくることができました。

だから、等しい長さをいろんな分数で表せる場合があるということも勉強しました。

だったら、Ｂのテープは[MATH]\(\frac{6}{4}\)[/MATH]ｍとも言えると思います。

どうしてですか。

Ａの[MATH]\(\frac{1}{4}\)[/MATH]ｍを使うと、その６つ分の位置が、Ｂのテープの長さと同じになるからです。

本当ですか。皆さんも調べてみてください。

本当だ。[MATH]\(\frac{1}{4}\)[/MATH]ｍが６つ分で[MATH]\(\frac{6}{4}\)[/MATH]ｍになっている。

ということは、Ｂのテープは[MATH]\(\frac{3}{2}\)[/MATH]ｍとも言えるし、[MATH]\(\frac{6}{4}\)[/MATH]ｍとも言えるよ。

分数は自由に一つ分をつくって表せるから、どちらで表しても問題なさそうだね。

今日の学習をふり返ってみましょう。最初に皆さんはＢの長さを[MATH]\(\frac{3}{4}\)[/MATH]ｍと言っていましたね。

それは間違いでした。

どうして[MATH]\(\frac{3}{4}\)[/MATH]ｍと思ってしまったのでしょうか。

１ｍを意識していなかったからです。

２ｍを基にして考えてしまっていたからです。

では、これを見てください。

全部[MATH]\(\frac{3}{4}\)[/MATH]になっている。だけど、[MATH]\(\frac{3}{4}\)[/MATH]ｍなのはＡだけだ。

どうして[MATH]\(\frac{3}{4}\)[/MATH]に見えるのでしょうか。

どのテープも、全体を４等分した三つ分の大きさだからです。

なるほど。つまりＢのテープで言うと、ここが……。

※子供と確認しながら、[MATH]\(\frac{1}{4}\)[/MATH]から順に分割分数を表記していく。

[MATH]\(\frac{1}{4}\)[/MATH]、[MATH]\(\frac{2}{4}\)[/MATH]、[MATH]\(\frac{3}{4}\)[/MATH]、1。そういうことか。テープ全体が1になるということか。

CやDのテープも、全体を１と考えて、それを基にして[MATH]\(\frac{3}{4}\)[/MATH]と見ていたんだ。

だから、どのテープも[MATH]\(\frac{3}{4}\)[/MATH]に見えたのか。

でも、何ｍかと聞かれると……。

１ｍを基にして考えないといけません。例えば、Ｂのテープだと……。

※先のテープの上に量分数を表記していく。

１の位置がずれる。そうか、基にする大きさが違うからだ。

つまり、２ｍの[MATH]\(\frac{3}{4}\)[/MATH]のBのテープは、何ｍと言えますか。

[MATH]\(\frac{3}{2}\)[/MATH]ｍです。

では、Ａのテープも同じように表してみます。Ｂのテープとの違いはありますか。

1の位置が揃っています。

では、１ｍの[MATH]\(\frac{3}{4}\)[/MATH]のＡのテープは、何ｍですか。

[MATH]\(\frac{3}{4}\)[/MATH]ｍです。

基にする大きさがどちらも同じ位置だから、簡単に表せるんだな。

何を基にしているのかをちゃんと確かめれば、もう間違えないよ。

[MATH]\(\frac{3}{4}\)[/MATH]は基の大きさによって変わるけれど、[MATH]\(\frac{3}{4}\)[/MATH]ｍは１ｍを基にすることが分かりました。

でも、どちらの分数も1を等分したいくつ分で表しているのは同じでした。

今日は、[MATH]\(\frac{3}{4}\)[/MATH]ｍと[MATH]\(\frac{3}{4}\)[/MATH]の違いについて考えました。どちらも、基にする大きさを何等分したいくつ分という考えは同じだけれど、基にする大きさが[MATH]\(\frac{3}{4}\)[/MATH]ｍと[MATH]\(\frac{3}{4}\)[/MATH]では違うことに気が付きました。[MATH]\(\frac{3}{4}\)[/MATH]ｍは１ｍを基にしていて、[MATH]\(\frac{3}{4}\)[/MATH]は基の大きさを１と見れば、どんな大きさでもよいことが分かりました。

評価問題

次のＣのテープ（黄色い部分）の長さは何ｍになりますか。その理由もせつ明しましょう。

子供に期待する解答の具体例

[MATH]\(\frac{5}{3}\)[/MATH]ｍです。１ｍを基にすると１つ分は[MATH]\(\frac{1}{3}\)[/MATH]ｍになります。[MATH]\(\frac{1}{3}\)[/MATH]ｍが５つ分で[MATH]\(\frac{5}{3}\)[/MATH]ｍになるからです。

本時の評価基準を達成した子供の具体の姿

分割分数との違いを捉え、基準量である１ｍに着目して長さを量分数で表すことができている。

感想例

今までは、分数で何ｍかを表すときに、基の大きさを意識していなかったけれど、それはいつも１ｍを基にしていたからだということに気付きました。分数で「何ｍ」を表すのか、「全体を何等分したいくつ分」を表すのか、ちゃんと区別して使っていきたいです。

分数には複数の役割があります。子供たちが学年を経るにつれて、それぞれの役割を理解したり、統合的に考えたりできるよう心がけましょう。
本時では、量分数と分割分数の役割の違いについて理解するために、基準量に着目して考察できることをめざしました。
そのために、図を用いて、上下に量分数（測定値）と分割分数（割合）を表記し、なぜ２ｍのときにはそれぞれの表記が異なるのかを説明できるようにしました。２ｍの[MATH]\(\frac{3}{4}\)[/MATH]が何ｍかを考えるだけにとどまらず、分数のもつ役割の違いに関心が向く子供に育てていきましょう。

イラスト／横井智美

小学館IDをお持ちの方はこちら

初めてご利用の方