小5算数「面積」指導アイデア《平行四辺形の面積の求め方》

特集: 【文部科学省教科調査官監修】1人1台端末時代の｢教科指導のヒントとアイデア｣

2022.09.15

単元の展開

第１時（本時）平行四辺形の面積の求め方を考え、説明することができる。
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第２時　平行四辺形の面積の公式をつくり出し、それを適用して面積を求めることができる。
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第３時　高さが平行四辺形の外にある場合でも、平行四辺形の面積の公式を適用できることを理解する。
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第４時　三角形の面積の求め方を考え、説明することができる。
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第５時　三角形の面積の公式をつくり出し、それを適用して面積を求めることができる。
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第６時　高さが三角形の外にある場合でも、平行四辺形の面積の公式を適用できることを理解する。
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第７時　台形の面積の求め方を考え、説明することができる。
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第８時　台形の面積の公式をつくり出し、それを適用して面積を求めることができる。
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第９時　ひし形の面積の求め方を考え、説明することができる。また、ひし形の面積の公式をつくり出し、それを適用して面積を求めることができる。
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第10時　学習の定着を確認する。

本時のねらい

既習の図形に帰着して、平行四辺形の面積の求め方を考える。

評価規準

長方形に変形して、平行四辺形の面積を求めることができる。（思考・判断・表現）

１人１台端末活用ポイント

本単元では、単元を通してタブレット端末（以下、「タブレット」）を用いながら面積公式を作りだす活動を設定します。

タブレット上では、図形のどの長さに着目すれば面積を求めることができるか説明できるように、等積変形や倍積変形をした後の図形だけでなく、最初の図形についても説明に合わせて表示できるようにします。

本時では、平行四辺形の隣り合う２つの辺の長さを掛けて面積を求める考えや、平行四辺形を「切って組み合わせる」（「裁ち合わせ」と言います。以下は、単に「変形して」とします）ことで、長方形に変形する考えを取りあげて、平行四辺形の面積の求め方を話し合わせます。

そのために、縦５㎝、横６㎝の長方形の４つの辺の長さを変えずに、２つの頂点の位置を変えてつくった平行四辺形を提示し、面積を尋ねます。

本時の展開

㋐の長方形の辺の長さを変えずに、㋑の平行四辺形にしました。㋑の面積は何㎠ですか。

導入では、既習の㋐の図形について求積のしかたを全体で確認します。次に、頂点の移動の様子が分かるように、ICT環境を使って図形を動的に映し出し、図形が変わったときの面積の求め方について話し合わせます。

（問題を掲示）㋐の面積を求めることはできますか。四年生で学習しましたね。

縦×横をすればすぐに答えが出せます。

５×６で30㎠になります。

この「５×６」とは、何が５×６個あるのですか。

１㎠の正方形が５×６個あります。

では、上の辺を動かします（タブレット上で図形の変化を映す）。四角形の面積はどうなったでしょう。

小さくなった！

（子供のつぶやき）大きくなったように見えたけど……。

図形のどこの部分が変わりましたか。

縦の線が斜めになりました。

右に倒れて平行四辺形になりました。

直角がなくなりました。

辺の向きや角度が変わったようですが、長方形の面積を求める考え方はもう使えないのでしょうか。

同じ四角形だから、縦×横が使えると思います。

四年生のときみたいに、ます目の数を数えたら分かると思います。

そのままだと、斜めの辺があって数えられません。

正方形の数が数えられるように、平行四辺形を切ったり動かしたりすればよいかな。

なるほど。さまざまな方法があるようですね。今日はいろいろな方法で平行四辺形の面積の求め方を考えて、それを説明するというめあてでよいですか。

平行四辺形の面積を求める方法を考えて説明しよう。

タブレットのアプリで図形を切ったり動かしたりすることができます。この図形を方眼紙にかいたものも配ります。アプリと方眼紙の好きなほうを使って考えましょう。答えだけでなく、言葉の説明も書き加えて、面積を求める方法を説明しましょう。

※この指導アイデアでは、タブレット上で図形を切ったり動かしたりする操作が可能な学習アプリを使用することを想定しています。このようなアプリを使用しない（できない）場合は、方眼紙を使った活動を位置付けて授業を展開していきます。

自力解決の様子

子供のタブレットの画面上に平行四辺形を映すとともに、同じ図形が方眼紙にかかれたノート用の紙を４枚程度、子供に配付します。タブレットを使用するか、方眼紙を使用するかは、子供に選択させます。図形を切ったり動かしたりして、まずは、自由に操作をさせながら面積を考えさせます。

次に、どのように考えたのか、学級全体に向けて説明ができるように、自分が操作した手順や考え方を、図形に文字や記号などを使ってタブレットに書き込ませます。書き終わったら、教師のタブレットに提出させて、学び合いの準備をします。

なお、全体で交流させたい考えが浮かんでいても、タブレット上での操作がうまくいかない子供には、黒板に掲示できる図形を拡大した紙を渡し、切ったり書き込んだりさせます。

自分の考えがまとまったら、近くの友達どうしやICTの活用でほかの子供の活動を共有することも考えられます。このことによって、５×６という考えと、４×６という考えのどちらが正しいかを明確にするという新たなめあてが生まれるかもしれません。

また、面積は「１㎠の何個分」で表されるという測定の考えに基づき、面積を素朴に求める方法を確認できたり、三角形を長方形に変形する方法が多様にあることに触れることができたりします。これらはどれも本時の学習では大切な視点です。

ただし、子供たちがどの考えを参照するかはそれぞれの子供によってまちまちなので、全体の交流で順に取り上げていくとよいでしょう。

A つまずいている子

横の辺に対して垂直になっていない斜めの辺を「縦」と見て、長方形と同じ公式を使って計算している。

５×６＝30　30㎠

Ｂ素朴に解いている子

ます目の数を数えて求めている。

24㎠

Ｃねらい通り解いている子

垂直方向の線を引いて切り取り、動かして長方形をつくり、長方形の面積を公式で求める。

４×６＝24　24㎠

垂直方向の線を２本引いて三角形２つと正方形に分け、三角形２つを組み合わせて長方形をつくり、それぞれの面積を求めている。

４×４＋４×２＝24　　24㎠

水平方向の線を３本引き、４つの部分に分けた後、図のような長方形に変形し、その面積を求めている。

２×12＝24　24㎠

ノート例

学び合いの計画

子供がタブレット上で操作したり記入したりしたものを、大画面に映し出して説明させます。その間、教師は、子供が発表した考え方が黒板上に残るように、説明を基に方眼紙で再現し、黒板に貼ります。もし、子供が黒板用の方眼紙上の図形を使って発表した場合は、そのまま黒板に貼ります。

発表を聞いている子供は、あらかじめ配付していたノート用の方眼紙を使って、同じように操作します。このように、 ICT機器と紙媒体を子供の実態や、学習の進め方によって使い分けます。

ICT機器の活用のみに絞ると学習の足跡が残らず、学習内容をふり返ることが困難になるため、適宜、紙媒体を使用して、考えが黒板やノートに残るようにしていきます。

まず、Ａの方法を取り上げます。答えが間違っていると簡単に済ませるのではなく、「平行四辺形の構成要素に着目しつつ、長方形の求積公式から類推して考えたこと」を価値付けます。

次に、Ａの「５×６」とＣの「４×６」のどちらが正しいかについて検討します。それぞれの考えには、子供なりの理由がありますので、Ｃの方法をていねいに説明して、「Ｃが正しく、Ａが誤りである」という結論にもっていこうとしても、一部の子供には納得が得られないかもしれません。

ここでは、面積が「１㎠の何個分」で表されるという測定の考え、つまり、Ｂの考えを生かして、答えが30㎠ではなく24㎠であることを確認することが大切です。

最後に、Ｃの多様な考えを1つずつ確認していきます。そして、その共通点や相違点を考えていきます。相違点としては、変形後の図形の違い（長方形の形、長方形の数）、切り方の違いなどがあります。

共通点については、「すべて長方形に変形していること」が最も大切です。次の時間で底辺と名付ける「水平方向の辺（子供は横の辺などと呼ぶでしょうか）」に垂直な直線で1回切れば、どの場合も長方形に変形できることも、気付かせたい共通点です。

Ａさんの考えを聞きましょう。

長方形の面積と同じように、ここ（縦）とここ（横）の長さを掛けました。５㎝と６㎝なので、５×６をして30㎠だと思います。

平行四辺形の辺の長さに目を付けて、長方形の面積の公式を基に考えたんですね。学習したことをしっかり使おうとしていますね。

私は、答えは24㎠だと思います（自分のやり方を説明する）。

なるほど。30㎠という考えと24㎠という考えがありますね。求め方もいろいろあるみたいですね。まず、答えがどちらかをはっきりさせましょう。授業の最初に、１㎠の正方形の数を数えればよいという考えがありましたね。Ｂさんがその考えで面積を求めています。考えを説明してください。

１㎠の正方形の数を数えます。正方形はそのまま数えます。１、２、３……、18。残りのところは、この三角形とこの三角形を２つ合わせると１㎠になります（19とかく）。このようにして数えると24個になります。答えは24㎠です。

平行四辺形の面積は24㎠なのですね。今のＢさんの考えで、工夫されているのはどんなことでしょう。

三角形を２つ合わせて１㎠にしたところだと思います。

なるほど。三角形だと面積が分からないけれど、合わせて１㎠にすればよいんですね。それでは、面積を求めるいろいろなやり方があるみたいなので、みんなで確認していきましょう。

Cの多様な解法を全員で確認する（記述省略）
Cの多様な解法の相違点を出し合う（記述省略）

今度は、この２つ（底辺と垂直な辺で分け、長方形に変形したもの）について考えます。これらに共通しているところは何でしょうか。

式が、どちらも４×６です。

線の場所は違うけれど、引き方が同じです。

引き方が同じ？　その線はどうやって引いたのですか。

ます目に沿ってまっすぐ縦に引きました。

横の辺に垂直になるように引きました。

なるほど。そのように引いた図が２つありますが、ほかの場所で引いても長方形になるでしょうか。隣どうしで確認しましょう。

※ほかの場所で垂線を引かせ、隣りどうしで確認させる。

（上のいくつかの結果をICT環境で共有する）いろいろな場所から線を引いてくれましたが、どこでも長方形になっていますね。この引き方と、４×６という式に関係はあるでしょうか。

この線は横の辺に垂直で、縦に４つ正方形が並ぶので、４×６の４になっています。

なるほど。では、「４×６」の「６」はどこの長さですか。

切り取ってできた三角形を反対側にくっつけたときに、正方形が６つ並んでいます。この並んだ長さです。

どの切り方でも、移動しただけだから、いつも６㎝になります。

付け加えます。垂直に切って動かせば、どこで切っても縦４㎝、横６㎝の長方形になります。

※平行四辺形を切ったりずらしたりして長方形に変形すれば、面積を求めることができることを確認し、子供の言葉を生かしながら、本時のまとめへとつなげます。

平行四辺形の面積は、長方形に変形すると求めることができる。

評価問題

下の図のように、頂点の位置を変えて平行四辺形をつくります。方眼紙の目盛りは１㎝です。面積は何㎠ですか。求め方を説明しましょう。

子供に期待する解答の具体例

横の辺に垂線を引き、長方形に変形した図をかくなどして正方形に変形できることを説明してる。

式　６×６＝36　　　　36㎠

感想例

辺が斜めのままだと計算できないことが分かりました。
横の辺に垂直な線を引いて切ったりずらしたりしたら、「縦×横」で求められることが分かりました。
ほかの図形の面積も考えたいです。

イラスト／横井智美

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