小3算数「三角形と角（三角形を調べよう）」指導アイデア《円を利用した三角形の作図》

特集: 【文部科学省教科調査官監修】1人1台端末時代の｢教科指導のヒントとアイデア｣

2022.10.15

単元の展開

第１時　辺の長さに着目した三角形の弁別
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第２時　二等辺三角形の作図
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第３時　正三角形の作図
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第４時（本時）円の性質に着目した二等辺三角形と正三角形の作図
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第５時　三角形の角の大きさの相等・大小関係
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第６時　二等辺三角形と正三角形の角の特徴
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第７時　まとめ

本時のねらい

二等辺三角形や正三角形の作図のしかたを、円の性質を用いて考え、説明することができる。

評価規準

既習の円の性質や、二等辺三角形や正三角形の意味や性質に着目して、作図のしかたや作図できた理由を考え、説明している。

本時の展開

円の中心と円周上の２点を結ぶと、二等辺三角形ができると言えるのかを説明する。

前の時間までに辺の長さに着目して、二等辺三角形と正三角形の作図をすることができました。どのようにかきましたか。

二等辺三角形は、１本辺をかいて、同じ長さの辺をあと二つかくために、コンパスを使って長さを測りました。

正三角形は、三つの辺の長さが同じだから、同じようにコンパスを使いました。

今回は円の中心から辺をかいて、円上に交わった点どうしを結んで三角形をつくります。この三角形はどんな三角形ですか。

二等辺三角形になります。

正三角形もできないかな。

どこに線を引いても、二等辺三角形になりますか。

二等辺三角形になります。

本当にいつでもそうなるのかな。

正三角形ができるときもありそう。

では、実際に三角形をかいてみて、いつでも二等辺三角形になると言えるかどうか、説明できますか。

円の性質を利用して、二等辺三角形や正三角形が作図できることを説明することができる。

見通し

いろんな三角形をかいて、辺の長さを測ってみよう。（方法の見通し）

２辺が円の半径であることを説明できれば、いつでも二等辺三角形になると言えるよ。（方法の見通し）

いつでも二等辺三角形になると思う。正三角形もできそう。（結果の見通し）

自力解決の様子

A つまずいている子

長さを測っても、「いつでも」言えるかどうかは自信がもてない。

Ｂ素朴に解いている子

とにかくいくつも作図して、辺の長さを測って、等しくなることを確かめている。

Ｃねらい通り解いている子

円の性質を利用して、２辺が半径と同じなので、辺の長さが等しくなることを説明しようとしている。

学び合いの計画

二等辺三角形や正三角形については、辺の長さや角の大きさといった構成要素に着目することで弁別することができます。円の半径についての着目ができれば、演繹的に中心と円上の２点を結んだ三角形は二等辺三角形になることが説明できます。作図すること自体は容易にできるので、帰納的にも中心と円上の２点を結んだ三角形は必ず二等辺三角形になることは説明できます。

さまざまな点を結んで三角形を作図する活動を通して、演繹的なアプローチをする子供と、帰納的なアプローチをする子供とが、互いに考えを伝えて学び合うことを通して、多面的な視点を身に付けることができます。

また、繰り返しの作図を通して、円上の２点の距離が半径と等しくなったとき、正三角形になることを実感でき、二等辺三角形と正三角形の関係にも着目できるようにします。

「半径を２辺とする三角形は必ず二等辺三角形になるかどうか」を確かめようとする学び合いの過程のなかで、演繹的なアプローチと帰納的なアプローチを交流し合うことで、多角的な視点で協働的に問題を解決していくことによって、より確かに問題解決をしていくことができることを実感できるようにしていきましょう。

ノート例

A つまずいている子

C ねらい通りに解いている子

全体発表とそれぞれの考えの関連付け

Ｃ１
とにかくたくさんの三角形で、辺の長さを測って確かめました。どの三角形も二等辺三角形になっていました。だから、いつでも二等辺三角形になると思います。

Ｃ２　
円の半径はいつも同じ長さになることを利用して確かめました。三角形の二つの辺は必ず円の半径になるので、いつでも二等辺三角形になると思います。

Ｃ３　
とにかくたくさんの三角形で、辺の長さを測って確かめました。ほとんどの三角形は二等辺三角形でしたが、いくつか正三角形になりました。だから、いつでも二等辺三角形になるとは限らないと思います。

３人の発表を聞いて、いつでも二等辺三角形になると言えそうですか。

言えそうです。

でもＣ１さんの確かめ方だけだと「いつでも」とは言えないかも。

では、どの考え方なら「いつでも」と言えそうですか。

Ｃ２さんの考え方なら、二つの辺が「いつでも」半径になるから、「いつでも」二等辺三角形になると言えそうです。

でも、Ｃ３さんは正三角形になる場合もあると言っているよ。「いつでも」二等辺三角形になると言っていいのかな。

二等辺三角形と正三角形は違う三角形じゃないかなということですね。

正三角形になるときもあるから、「いつでも」とは言えません。

でも、私はＣ１さんのように、いろんな三角形をかいたけれど、正三角形と二等辺三角形はなんだか似ている気がするよ。

似ているところはどこだろう。

正三角形も、二つの辺の長さは円の半径の長さと同じ長さだよ。

正三角形は、二等辺三角形の仲間のなかの特別な形なんじゃないかな。

正三角形も二等辺三角形の仲間の一つだと考えてよいということですか。

いいと思います。

それなら、「いつでも」二等辺三角形になると言ってよさそうです。

たくさんかいて確かめたからこそ、似ていることに気付けましたね。

円の性質を使うと、ほかにも「いつでも」がある図形を見付けられるかもしれない。違うかき方で図形をかいてみたいな。

円の半径がいつでも同じ長さだから、いつでも二等辺三角形ができると言えそうです。正三角形は、二等辺三角形の仲間であることが分かりました。

評価問題

図の三角形が二等辺三角形であることをせつ明しよう。

子供に期待する解答の具体例

三角形の二つの辺が、円の半径と同じ長さです。だから、三角形は二等辺三角形です。

本時の評価基準を達成した子供の具体の姿

三角形の辺の長さに着目して三角形を弁別し、円の性質と重ね合わせて友達に説明している。

感想例

「いつでも」二等辺三角形になるかどうかを、円の半径の長さが同じことを使って説明しました。正三角形と二等辺三角形は別の三角形だと思っていたけれど、どちらも二等辺三角形の仲間であることにびっくりしました。

１人１台端末活用ポイント

本時の学習のように図形の構成要素に着目して、その性質を発見する学習は、作図をする活動を通した学習をすることが必須です。

２・３時でコンパスを用いて長さを測りとる活動を行っているように、コンパスなどの操作を適切に行えることはもちろん大切です。しかし一方で、本単元のような図形について考察する学習では、１人１台端末を用いての学習について、以下の２点について可能性を探る必要があります。

一つは、タブレット上での作図の可能性です。本時のように円の中心から円上の２点に直線を引くことは、難しい作図の活動ではありません。しかし、場合によってはタブレット上のほうが、アプリによっては正確な図形をかけたり、長さをそのまま測ったりすることができます。

また、タブレット上で作図された直線について、一方の点を移動させることで、直線の移動を経験できます。図形を変形させることで、図形そのものを動的に捉える視点の獲得が期待できます。

もう一つは、画面の共有です。作図された図形をタブレット上の画像として扱うことで、一度に多数の画像を共有することが可能になります。それによって、全員の考えを全員が共有することが簡単にできます。

本時のように、説明する学習活動を想定した場合、特に図形の学習の場合、説明の前にまずかいた図形を共有することで、そこからその人が何を考えてその図を作図したのか考察することができます。それによって、図から読みとる力が高まることが期待できます。

また、全員の考えを一人ひとりが読みとることで、さまざまな考えと自分の考えとのかかわりについて考える機会が与えられます。多面的な視点のなかで、自分はどのような視点で考察していたのか気付くことで、自分にとって必要な情報を選びとる力も高まることが期待できます。

多面的な視点をもって、多様な方法のなかから、自分にとっての学びを構築していく学習活動のためにも、１人１台端末の活用をしていきましょう。

イラスト／横井智美

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