小３算数「余りのあるわり算」指導アイデア《割り切れない場合の計算の仕方》

特集: 文部科学省教科調査官監修｢教科指導のヒントとアイデア｣

2025.08.28

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単元の展開（各時の主な学習活動内容）

第１・２時　割り切れない場合の計算の仕方（包含除） 14÷３
第３時　（本時）割り切れない場合の計算の仕方（等分除） 16÷３
第４時　割り切れない場合の除法の答えの確かめ方
第５時　問題に応じた商の処理の仕方（余りを考える問題）
第６時　まとめ

本時のねらい

余りのある等分除と包含除を、「余りのある除法」として統合的に捉えることができる。

評価規準

割り切れない等分除と包含除の違いを、既習の除法の仕方を基に考え、説明することができる。

本時の教材のポイント

子供たちは、除法について乗法九九を１回用いて商を求められることを学習しています。また、除法には〈１つ分〉の大きさを求める場合が等分除で、〈いくつ分〉の大きさを求める場合が包含除という２つの意味があることを理解しています。そして、等分除と包含除の２つの問題場面を比較する活動を通して、２つの場面を除法として統合的に捉えてきました。本題材の、余りのある除法においても、等分除と包含除の２つの意味を統合的に捉えることで、理解を深めていくことが重要であると考えられます。

そこで、本時の授業では、前単元で学習してきたときと同じように、余りのある「等分除」と「包含除」の問題場面を比較する学習を取り入れていきます。そうすることで、子供たちは単に計算するだけでなく、具体的な場面を想像し、具体物や図を用いながら問題解決に取り組むことで、余りのある除法にも、「等分除」と「包含除」それぞれの意味があることを再認識し、除法として統合的に捉えることができるようになります。

余りのある除法においては、包含除の場面のほうが、その意味を子供たちが理解しやすいです。例えば、「10個のクッキーを３個ずつ袋に入れると、何袋できて何個余るか」という包含除の場面では、余った１個のクッキーの処理を図１のように３つに分けて考えてしまうのは問題の題意に合っておらず、除法において、余りが出てくることを容易に理解できます。

一方で、等分除の場面、「10個のクッキーを３人で分けると、１人何個ずつで何個余るか？」という場合、余った１個のクッキーを図１のように分けるなど、子供たちが日常生活の経験に基付いて工夫して解決しようと考えることができます。これは、現実の場面に即して思考している価値ある姿ではありますが、余りのある除法において、余りの意味を曖昧にしてしまう可能性があります。そこで、本時の授業では、分割してしまうとそのもの本来の価値が失われてしまうような素材を扱うことで、等分除の場面においても「余り」が出てくることを理解することができるようにします。

このように問題場面を比較する活動を取り入れ、等分除においても余りが出てくることに必然性がある問題場面を提示したりしていきます。そうすることで、子供たちは単に計算するだけでなく、余りのある等分除が用いられる場面の数量の関係を、既習の除法の考え方を基に具体物や図などを用いて考えていくことができます。

本時の展開

16このビーズがあります。３こずつ使ってアクセサリーを作るとき、アクセサリーは何本できてビーズは何こあまりますか。

前の問題と同じように考えられるよ。

３×５＝15、16－15＝１になるから、式は、16÷３＝５余り１。アクセサリーは５本できてビーズは１個余るよ。

そうですね。前回と同じような考え方ができますね。もう１問出します。

16このビーズがあります。３人で同じ数ずつ使ってアクセサリーを作るとき、１つのアクセサリーにビーズは何こ使えて、何こあまりますか。

さっきの問題と似ているけど、少し違うところがありそう。

式は、16÷３＝５余り１になるよ。

同じ式になっていいのかな。

それでは、２つの問題の似ているところや違うところを説明していきましょう。

２つの問題の似ているところや違うところを説明しよう。

見通し

どのように説明していきますか。

ブロックを分けていき、分け方の違いを説明したいです。

図や式に表すと違いが見えてくるかもしれないよ。

それでは、自分なりの方法で説明してみましょう。

ブロックなどの具体物を用いて説明する
式に表して説明する
具体物や式を用いて説明する

自力解決の様子

Ａ　つまずいている子

・問題場面と具体的な操作や図が結び付かない。包含除の問題場面と同じように考え、余りが除数よりも大きくなってしまう。

Ｂ　素朴に解いている子

・問題場面から具体的な操作や図を用いて似ているところや違うところを考えている。しかし、等分除と包含除の問題場面になっていることには気付かない。

Ｃ　ねらい通り解いている子

・問題場面から具体的な操作や図を用いて似ているところや違うところを考えている。乗法の式や図に表し、それぞれの問題場面が〈１つ分〉と〈いくつ分〉のどちらを求めているか理解している。

ノート例

Ｂ　素朴に考えている子

Ａ　つまずいている子

全体発表とそれぞれの考えの関連付け

それでは、２つの問題について、みなさんがどのように考えたのか、似ているところや違うところを説明していきましょう。

問題①は昨日と同じように考えていくと、余りが１個になります。問題②は、３人に３個ずつ分けると、７個余ります。問題②の余りのほうが大きくなります。

同じ数ずつ分けられているけれど、余りの７はまだ分けられます。

同じ数ずつ分けると、１人１個でも、２個でも、４個でも、同じ数ずつ分けられているから。何でもよくなってしまいます。

これを式に表すと、16÷３＝３余り７になってしまって、割る数より余りのほうが大きくなってしまいます。まだ分けられるので余りは割る数より小さくしたほうがいいと思います。

昨日の勉強と同じだね。

そうですね。同じ数ずつ分けるときは、分けられなくなるまで考えていきましょう。そのように考えた人はいますか。

Ａくんと同じように、問題①はブロックを３個ずつまとめていきました。１、２、３……と数えて、３個ずつを１つのグループにすると、５つのグループができました。そして、最後に１個だけブロックが余りました。問題②はブロックを３人に１個ずつ配っていきました。１個、２個、３個……と順番に配っていくと、１人５個ずつ配ることができました。最後は１個だけブロックが残って、もう３人には配れませんでした。２つの問題とも、ブロックは１個余りました。

なるほど。ブロックを分けていったのですね。図で表した人もいますね。

問題①は〇を16個かいて、３個ずつ線で囲んでいきました。そうすると、５つのまとまりができて、１個だけ〇が残りました。問題②は〇を16個かいて、３つの場所に１個ずつ〇を置いていくように線を引いていきました。そうすると、それぞれの場所に５個ずつ〇があって、１個だけ〇が残りました。

ブロックで分けたり図で表したりして、違いについて考えることができていますね。この２つの考え方を式に表すことはできますか。

16÷３＝５余り１になります。

他の式に表すことはできますか。

問題①は３×５＝15だから、５本できると思います。16―15＝１なので１個余ります。

問題②は５×３＝15だから、１人分が５個と求めることができます。16―15＝１なので１個余ります。

問題①は、３のまとまりがいくつあるかを考える問題で、問題②は１つ分がどれくらいの数になるかを求めている問題です。

前のわり算のときも勉強したね。

では、どうして２つの問題は、違う場面なのに同じ式（16÷３＝５余り１）になるのでしょうか。

問題①は３個ずつまとめて、問題②は３人に分けるけれど、どちらも「３」という数を使っているからだと思います。

なるほど。どちらも「３」という数が関係しているのですね。もう少しくわしく言うとどうでしょう。

問題①は「16の中に３がいくつあるか」を考えて、問題②は「16を３つに分けた１つ分がいくつになるか」を考えるけど、どちらも「３」を考えていると思います。

どちらの場面でも、余りは１個になりました。

１つ分やいくつ分を求めるときはわり算の式に表すことができたよね。

余りのあるわり算でもかけ算を使って答えを求められます。

どちらの問題も割る数より余りのほうが小さくなります。

そうですね。１つ分やいくつ分を求めるときはわり算の式に表せましたね。また、どちらの場面でも、余りは１個になりました。このように、余りのあるわり算でも２つの意味がありますね。

まとめ

余りのあるわり算でも、１つ分を求める問題がある。
１つ分を求める余りのあるわり算でも、余りは割る数より小さくなる。
答えを求めるときにはかけ算とひき算を使って求める。

評価問題

えん筆が54本あります。８つの筆箱に同じ数ずつ分けると、１つの筆箱にはえん筆が何本入り、何本余りますか。この問題は、問題①と問題②のどちらに似ているでしょうか。自分の考えを説明しましょう。

感想例

同じ式なのに、分け方が違うことに気付きました。最初はなんで同じ式になるのか不思議だったけれど、３つのまとまりで考えるのと３人で分けるときの違いを図に表すと分かりやすかったです。
同じ数ずつ分けるだけだと、いろいろな答えが出てくることに気付きました。算数の問題では、余りの数が割る数よりも小さくなるまで分けないといけないことに気付きました。
余りのあるわり算も、「１つ分」や「いくつ分」を求める計算がありました。どちらも九九を使うと答えを求めることができました。だけど、２つの問題はかけ算の式が違うことに気付きました。