小５算数「□と△を使った式」指導アイデア《伴って変わる２つの数量の関係を、□や△を使った式に表す》

執筆／富山市立保内小学校教諭・高井慈美
監修／文部科学省教科調査官・笠井健一　前・富山県南砺市立福光東部小学校校長・中川愼一

単元の展開

第１時　伴って変わる２つの数量の関係に着目し、その関係を□や△を使った式で表す。（□×３＋１＝△となる関係について）
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第２時（本時）これまでに学習してきた伴って変わる２つの数量の関係を、□や△を使った式に表す。（□×４＝△となる関係〈比例〉について）
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第３時　□や△を使った式をよみ、２つの数量の関係を表に表して考えたり、具体的な場面を考えたりする。（□＋△＝12、□－２＝△など）

●第１時のまとめ

・伴って変わる２つの数量の関係を見付けると、数が大きくなっても本数を求めることができる。

・□や△を使った式に表すと、伴って変わる２つの数量の関係が捉えやすくなる。

●第２時のまとめ

・これまでに学んできた伴って変わる２つの数量の関係も、□や△を使って式に表すと、数量の関係が分かりやすくなる。

●第３時のまとめ

・□や△を使った式をよむと、１つの同じ式でもさまざまな２つの数量の関係を考えることができる。

本時のねらい

伴って変わる２つの数量の関係を表にまとめ、表から読み取れる２つの数量の変化の仕方を基に、対応の関係を見いだし、□や△を使った式に表すことを考える。

評価規準

表から読み取れる２つの数量の変化の仕方を基に、対応の関係を見いだし、□や△を使った式に表現している。（思考・判断・表現）

本時の展開

長さの等しいぼうで、下のように正方形のだんをつくり、大きくしていきます。正方形のだんを10だんつくるとき、周りを囲むぼうは何本いりますか。

10段の場合を知るために、伴って変わる数量の関係を□や△を使った式に表して考えよう｡
（段の数）→　□　　（棒の数）→　△　　　　　

見通し

自力解決の様子

A　つまずいている子
□が10段のときは４×10で40本　
・階段状の図をかいて、１本ずつ数えて、40本を求めている。
・数えて求めた40本をよりどころに、40本と10段から、式を立てようとしている。
　　↓
10段の場合を求めるだけで考えが止まっている。

Ｂ　素朴に解いている子
式は10×４で、□が10段のときは40本　
・一辺の長さが10の正方形をかいて、10×４＝40と求めている。
　　↓
「正方形の周りの長さは一辺の４倍」ということから「棒の数は段の数の４倍」ということにつなげて考え、□や△を使った式に表そうとしている。

Ｃ　ねらい通り解いている子
式に表すと、□×４＝△
表をつくって、

・どの数でも、□の４倍が△になっている。
・式は、□×４=△
・□×４=△だから、□が10のとき、△は40
・段の数が10のとき、10×４で棒の数は40本
　　↓
□と△は比例していること、比例の関係も□と△で表すことができることに着目している。

学び合いの計画

本単元では、伴って変わる２つの数量を、□や△を使った式に表すことのよさを感じることが大切です。そして、本時（２／３時）では、既習事項である「比例」の関係も□や△を使った式に表すことができるのかを考えていきます。この学習は、第６学年の「文字式」の学習や中学校の関数の学習にもつながる大切な単元です。

まず、子供たちが「難しそうだけれどやってみたい。いい方法を見付けたい」と主体的に取り組むことができるように、子供たちの実態に合った問題の提示が大切です。第１時から少し発展した問題に手応えを感じながら、問題に取り組んでいくでしょう。そして、問題解決の場では、自分で解決する方法を選択しながら学習を進めることができる学習の積み重ねが大切です。分からないときには、友達や教師に聞いたり、教科書やインターネットで調べたりする自己解決の方法も学んでおくとよいでしょう。

本時では、特に２つの数の変化や対応の様子を図や表で表すことがポイントになります。図や表から伴って変わる２つの数量の変化の特徴を見付け、それを式や言葉で表すことで、既習事項である比例の関係にあることに気付くでしょう。比例も□や△の式で表せるのかなと考えを深めていきましょう。

１人１台端末活用ポイント

一人一人が考えたことを画面共有することができると、一人一人の発表の時間を取らずに、子供たちどうしが友達の意見を基にして考えを加えたり見直したりすることができます。つまずいている子供にとってはヒントになり、安心して学習を進めることができるでしょう。また、教師としても、子供たちの考えを基にアドバイスをしたり、子供たちの考えの傾向を理解したりしやすくなります。

本単元では、伴って変わる２つの数を表した表や、変化の様子を表した図、そして、自分なりに考えた□と△を使った式を共有することがポイントになり、子供たちが関わって学び合うきっかけになります。□の値だけを入れてある表や、１段、２段、３段くらいまでの図を準備しておくと、子供たちはどんどん次の数を知りたくなり、わくわくしながら考えたくなるきっかけになるでしょう。

ノート例

Ａ　つまずいている子

Ｂ　素朴に解いている子

全体発表とそれぞれの考えの関連付け

学習のまとめ

式に表すと、□×４＝△
→10×４＝40
10段のときは、40本
・段の数と棒の数は、比例の関係
・比例の関係も、□や△を使った式に表すことができる。
※比例の関係も、前の時間の□×３＋１＝△の関係のように、□と△を使った式に表すことができた。

これまでに学んできた伴って変わる２つの数量の関係も、□や△を使って式に表すと、数量の関係が分かりやすくなる。
※表を縦に見ると、□や△を使って式に表すことができた。

評価問題

長さの等しいぼうで、図のように正三角形をつくり、積み上げていきます。だんの数を□、周りのぼうの本数を○として表にまとめて、どんな式になるかを考えましょう。

子供に期待する解答の具体例

・□が２倍、３倍……になると、それに伴って○も２倍、３倍……になっている。
・□が１ずつ増えると、○は３ずつ増えている。
・１辺の長さが１増えると、周りの長さは３増えるということ。
・□の３倍が○。
・□と○は比例の関係であると言える。
→式に表すと、□×３＝○

本時の評価規準を達成した子供の具体の姿

表から読み取れる段の数と棒の数の変化の仕方を基に、対応の関係を見いだし、□や○を使った式に表現している。

感想例

• 比例の関係にある２つの数も、□や△を使った式で表すことができると分かりました。
• ２つの数の変化の特徴を知るときには、見ただけでは分かりにくい関係でも、図や表に表して、横や縦の関係を考えればよいということを考えました。
• 式に表すと２つの数の関係が分かり、大きな数になっても求められて便利だと思いました。
• 比例の関係も式に表すことができたので、ほかの関係も式に表してみたいです。そして、式に表した後、大きな数を考えてみたいです。
• 身近な生活のなかから、自分でも問題をつくって、□や△を使った式に表して考えてみたいです。
• □や△を使った式で表したことで、比例の見方が深まりました。一方が２倍､３倍､４倍……になれば、もう一方も２倍､３倍､４倍……になる関係というのは、掛ける数が決まっている関係と言えるのではないかなと思います。

ワークシート（ダウンロード可）

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板書例

コラム

学習指導要領のＡ⑹とＣ⑴
学習指導要領の第５学年「Ａ数と計算」領域の（６）には、「数量の関係を表す式」について数量の関係を式に表すことや、その式をよむことの観点から記述されています。「Ｃ変化と関係」領域の（１）には、「伴って変わる二つの数量の関係」について数量の間の変化や対応の特徴を捉えるという観点から記述されています。具体的に見ていくと、例えば、「思考力、判断力、表現力等」を身に付けることに関する記述は次のように示されています。

Ａ⑹
二つの数量の対応や変わり方に着目し、簡単な式で表されている関係について考察すること。
Ｃ⑴
伴って変わる二つの数量を見いだして、それらの関係に着目し、表や式を用いて変化や対応の特徴を考察すること。

当然、両者には密接なつながりがあります。「簡単な式で表されている関係」と「変化や対応の特徴」とが、別のものを指しているわけではありません。また、子供たちの学びは、両者を一体のものとして深まっていきます。

このため、指導に当たっては、両者の内容を十分に把握したうえで、式の面からの学びと変化の特徴の面からの学びとをバランスよく深めていけるように配慮していくことが大切です。

第５学年 評価規準
Ａ⑹「数量の関係を表す式」

Ｃ⑴「伴って変わる二つの数量の関係」

イラスト／横井智美