小５算数「整数の性質」指導アイデア《公倍数、最小公倍数の意味を理解する》
執筆／神奈川県横浜市立獅子ケ谷小学校教諭・真島慎也
監修／東京都国立教育政策研究所教育課程調査官・加固希支男、神奈川県横浜市立伊勢山小学校副校長・黒木正人
目次
年間指導計画
・整数と小数
・体積
・合同な図形
・比例
・小数のかけ算
・平均
・単位量あたりの大きさ
・小数のわり算
・速さ
・図形の角
・整数の性質
・分数のたし算とひき算
・わり算と分数
・面積
・割合
・帯グラフと円グラフ
・円と正多角形
・□と△を使った式
単元の展開（各時の主な学習活動内容）
第１時 ２つに分けられた整数の特徴に着目し、その分け方を考える。
第２時 整数が２で割り切れるかどうかに着目し、整数が偶数と奇数に類別できることを知る。
第３時 偶数と奇数を乗法の式に表し、その意味や性質を考える。
第４時 倍数の意味を理解する。
第５時（本時）公倍数、最小公倍数の意味を理解する。
第６時 公倍数の意味や性質に着目し、公倍数の求め方を考える。
第７時 ２つの数の公倍数の求め方を基にして、３つの数の公倍数の求め方を考える。
第８時 約数の意味を理解する。
第９時 公約数、最大公約数の意味を理解する。
第10時 公倍数の意味や性質に着目し、公約数の求め方を考える。
第11時 公約数を活用し、問題を解決する。
第12時 学習内容のふり返りと定着。
本時のねらい
公倍数、最小公倍数の意味について理解する。
評価規準
- 公倍数、最小公倍数の意味を理解している。
- ３の倍数や４の倍数の特徴に着目し、倍数の意味を考え、説明している。
本時の教材のポイント
ここでは、前時に学習した「倍数」の意味を基に、「公倍数」や「最小公倍数」の意味について学習を進めていきます。はじめに、２つの隣り合う噴水がある遊園地を想定して場面を設定します。噴水Ａは３分おきにグルグル噴水が出ます。噴水Ｂは４分おきにクネクネ噴水が出ます。グルグル噴水とクネクネ噴水を同時に動画で撮影したいのだが、何分ごとに同時に出るかが知りたいという場面です。ここで、「何分ごとに同時に出る」ということについて、一度同時に出た後に次に同時に出るまでの時間が分かれば、「何分ごとに同時に出る」かが分かり、撮影の準備をすることができる、ということを押さえます。
次に、噴水Ａの場合、３分おきに出ることが分かっているので、３の倍数を利用して、３分後、６分後、９分後……ということが分かります。噴水Ｂの場合、４分おきに出ることが分かっているので、４の倍数を利用して、４分後、８分後、12分後……ということが分かります。
さらに、３の倍数や４の倍数について、表や数直線を活用して何分おきに出るかを数で表したり、数を丸で囲んだりして、同じ数が見られるとき、つまり３の倍数でもあり、４の倍数でもある「公倍数」について、そして「公倍数」のうち一番小さい数を「最小公倍数」ということについて理解できるようにします。
最後に、５分おきに滝がふってくる噴水Ｃを取り上げ、噴水Ｂと噴水Ｃを同時に撮影したい場合は何分ごとに同時に出るかを考え、活用問題として設定します。
本時の展開
前時までに、「倍数」について学習してきましたね。今日はある遊園地にある面白い噴水についてです。この噴水は決まった時間で特別な噴水が出ます。
どんな噴水が出るのだろう。
決まった時間とは何だろう。
噴水Ａは３分おきにグルグル噴水が出ます。噴水Ｂは４分おきにクネクネ噴水が出ます。グルグル噴水とクネクネ噴水を同時に動画で撮影したいのですが、どうしたらいいのでしょうか。
何分おきに同時に出るのかが分かれば、いつ同時に出るか分かると思います。
何分おきに同時に出るか、どうやって調べればいいのかな。
３分おきに出るということは、３分後、６分後、９分後……ということじゃないかな。
ということは、３の倍数を調べていけばよさそうだ。
それなら４分おきに出るということは、４分後、８分後、12分後……ということじゃないかな。
ということは、４の倍数を調べていけばいいかもしれない。
３の倍数と４の倍数を調べて、比べていけばいいかもしれない
それでは、実際に調べてみましょう。
噴水Ａと噴水Ｂは、何分ごとに同時に出るのかな。
見通し
どのように調べたらいいのかな。
これまで使った考え方で調べられないかな。
それでは、自分なりの方法でやってみましょう。
３の倍数と４の倍数を順番にノートや１人１台端末で表してみよう。
数直線を書いて、３分おきと４分おきに〇をつけて、比べてみよう。
同時に出る時間は、３の倍数と４の倍数のどちらにもある数を調べればいいんじゃないかな。
自力解決の様子
Ａ つまずいている子
・３の倍数や４の倍数は見付けることができるが、２つの噴水が同時に出る時間を見付けることができない。
Ｂ 素朴に解いている子
・１から順に書き、数直線を用いて３の倍数と４の倍数に丸をつけるなどして３と４の倍数をそれぞれ見付けることができている。
・丸をつけた倍数に着目し、共通する数同士を線で結ぶなどして公倍数を見付けている。
Ｃ ねらい通り解いている子
・３の倍数と４の倍数をそれぞれ書き表し、共通する数に丸をつけるなどして公倍数を見付けている。
・１つの公倍数を見付けた後も、さらに倍数を書き進め、公倍数も複数あることに気付いている。
ノート例
Ｂ 素朴に解いている子
Ｃ ねらい通り解いている子
全体発表とそれぞれの考えの関連付け
それでは発表してもらいます。
３の倍数を順番に書いていきました。次に４の倍数を書いていきました。倍数で考えたらいいことは分かったけれど、同時に出る時間がいつなのかは分からなくて……。
３の倍数と４の倍数の中に同じ数があるから、よく見てごらん。
前から順に探してみると分かりやすいよ。
私は、前の時間にやった考えで、０から順に数字を書いていって、３の倍数だけに丸をつけていきました。次に４の倍数も同じように、０から順に数字を書いていって、４の倍数だけに丸をつけていきました。丸をつけた数を見比べて、同じ数が出てきたら線で結びました。同じ数は12だったので、12分ごとだと思いました。
前に使ったやり方でやっていて分かりやすい。
探し忘れも減りそう。
丸をつけながらやるといいね。
私も似ていて、３の倍数と４の倍数を順番に書いて表にしました。表の中の数を見て、同じ数を見付けました。
表にすると見やすい。
12だけではなくて、24も36も同じ数です。
３の倍数と４の倍数の中にどちらも同じ倍数があるね。
３と４の共通な倍数のことを、３と４の公倍数と言います。
公倍数は、それぞれの倍数を書いていくと見付けられるってことだね。
よく見たら、その公倍数は全部12の倍数になっています。
本当だ。すごい。
３と４の公倍数で一番小さい数が12ということだね。
公倍数で、一番小さい数のことを最小公倍数と言いますよ。実は噴水Ｃもあるのですが、このときはどのように考えるとよいでしょうか。
まとめ
- ３の倍数と４の倍数を書いていくと、「公倍数」を見付けることができる。
- 「公倍数」の中で一番小さいものを「最小公倍数」と言う。
評価問題
５分おきにたきがふってくるふん水Ｃがあります。ふん水Ｂとふん水Ｃを同時にさつえいしたい場合は何分ごとに同時に出るのでしょうか。
子供に期待する解答の具体例
４の倍数：４、８、12、16、20、24
５の倍数：５、10、15、20、25、30
だから、最初の同じ数は20。
20×１、20×２、20×３と考えると、20分後、40分後、60分後となるので20分ごとに出る。
感想例
- 倍数を順番に書いていくと、公倍数を見付けることができました。
- 公倍数が分かれば、同時に起こる時間が分かりました。
- 最小公倍数が分かると公倍数が見付けやすいのかもしれないなと思いました。
ポイント＆アドバイス
構成／桧貝卓哉 イラスト／横井智美 図版作成／永井俊彦