小6算数「鶴亀算」指導アイデア

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執筆/埼玉県公立小学校教諭・天野翔太
編集委員/国立教育政策研究所教育課程調査官・笠井健一、浦和大学教授・矢部一夫

鶴と亀
イラストAC

本時のねらいと評価規準

(本時の位置 7/10)

ねらい
鶴亀算の仕組みを考える。

評価規準
鶴と亀の数の変わり方と足の数の変わり方を、表を用いて関係に着目して考察し、鶴亀算の仕組みを説明することができる。(数学的な考え方)

問題場面

月夜の晩に、鶴と亀が集まりました。
頭の数を数えると、10個ありました。足の数を数えると、24 本ありました(ここは後程提示する)。
鶴は何羽、亀は何匹いましたか。

江戸時代に日本で発達した数学を「和算」と言います。これは有名な和算の問題です。鶴亀算と言うこともあります。

(条件不足の問題に対して)これだけだと、わかっていることがありません。

そうですね。(条件部分を提示して)鶴と亀の頭の数を数えると10 個、足の数は24 本です。

鶴の足は2本、亀の足は4本です。そして、頭はそれぞれ1個ずつということもわかります。

これだけで、わかるのかなあ。

本時の学習のねらい

鶴亀算は、どのように考えれば、答えを求められるのだろう。

見通し

まず、条件不足の問題場面を提示します。「これだけでは条件が足りない」と言う子供の発言から、頭の数と足の数の数値を示します。「これだけで答えが求められるのか」と言う子供の発言が予想される一方で、「鶴と亀の数を整理して調べられないか」と問い、表に整理して考えると、わかりやすくなりそうだと見通しを立てさせるようにします。

子供との対話の中で「半分が鶴だとすると、足の数は全部で何本ですか?」と問うことで、「鶴が5羽、亀が5匹だったら足の数の和は……」「鶴が6羽で亀が4匹だったら……」という数を仮定して考えるやり方を引き出し、表にまとめるなどして問題解決につなげていきます。

自力解決の様子

A つまずいている子
うまく鶴と亀の数を仮定できず、思いつきで数を挙げて、足の本数を求めている。

B 素朴に解いている子
鶴と亀の数を仮定して足の本数を整理した表から、亀が1匹増えると足の数が2本増えるというきまりに気付く。

C ねらい通りに解いている子
表から鶴と亀の数の変わり方と足の数の増え方のきまりを見いだすとともに、足の本数の差に着目した式にも表すことができる。

学び合いの計画

全体での学び合いでは、まず、答えを確認した後、鶴と亀の数を仮定して、足の本数を表に整理したやり方を説明させます。「表を見て、どんなことに気付きましたか」と問うことで、表を横に見て、鶴と亀の数の変わり方と足の数の増え方に着目し、きまりを見いだすことが期待できます。

さらに、「もしも全部亀だったら、どうなるでしょうか」と見方を変える発問をし、表を鶴が0羽から順に整理するよさを子供が分かることも大切です。そして、表からきまりを見いだすだけでなく、足の本数の差に着目して式に表すことを促せば、より話合いが深まります。

全体発表とそれぞれの考えの関連付け

鶴亀算をどのように考えましたか。

鶴と亀の数を5ずつなどと、仮に決めて表に整理してみると、鶴が1羽増えると足の数が2本減るというきまりに気付きました。

鶴の数、亀の数、
足の数をまとめた表

鶴が0 羽、亀が10 匹だと考えることから表に整理しても、鶴が1羽増えると足の数が2本減るというきまりに気付きました。

足の本数の差に着目して考えると、式でも表すことができました。鶴が0 羽、亀が10 匹だとすると、足は40 本。実際は24 本だから差が16 本。鶴が1増えると足が2減るので16 ÷2=8。だから、鶴は8羽です。

表でも式でも、鶴と亀の数と足の本数の変わり方の関係を見ることが大切でした。

このように、表にまとめてきまりを見つけること、きまりから式に表して求めることなど、単に公式を用いるのではなく、表と式を関連付けることの有用性をおさえることが大切です。

ノート例

ノート例
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学習のねらいに正対した学習のまとめ

表から見つけた鶴と亀の数の変わり方と、足の数の変わり方のきまりを使えば、鶴亀算ができる。

問題解決の結果や過程を振り返らせる中で、「これまでの学習と同じように、表からきまりを見つけたこと」「2つの数量の関係(鶴と亀の数の変わり方と足の数の変わり方)に着目して表と式で表し、問題解決を行ったこと」を強調しましょう。それは、6年間の学びの蓄積であることにも触れられると、これからの中学校での数学の学習への見通しにもつながることでしょう。

評価問題

(本時の問題場面で)もしも、頭の数が15個あり、足の数を数えると36 本だったとしたら、鶴は何羽、亀は何匹いることになりますか。

子供に期待する解答の具体例

(表から見いだしたきまりに目を向けて)すべて鶴だと考えて、1羽減るごとに足は2本減るから
(36 - 15 ×2)÷2=3
15 -3= 12 
答え 鶴は12 羽、亀は3匹

感想例

鶴亀算は、表に表してからきまりを見つけ、式に表して解くことができました。これまで算数で学んできたことが生かされていたので、中学校でも、それを生かしてしっかり学びたいです。

ワンポイント・アドバイス

浦和大学教授・矢部一夫

本単元でのこの事例は、小学校で学習したことを振り返るとともに、中学校での学習との接続をねらった内容となっています。

「鶴亀算」は、和算で長く親しまれている内容を紹介し、解決する体験をすることに加え、表からきまりを見つけたり、きまりから式に結び付けたりすることのまとめとしての扱いです。

中学校でのxやyなどの文字を使って解く1次方程式につながる内容です。方程式を用いることにより効率的に解決できる反面、和算としての味わいが薄くなってしまうということもあります。そのため、あえて“鶴”や“亀”という言葉を残しながら授業を組み立てているところに、筆者の思いが見て取れます。

小学校算数が中学校数学にスムーズに接続し、数理的に処理することの楽しさが味わえ、中学校に対する期待が持てる「算数のまとめ」の授業展開を大いに期待しています。

イラスト/横井智美

『小六教育技術』2019年2/3月号より

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