小5算数「四角形と三角形の面積」指導アイデア

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執筆/埼玉県公立小学校教諭・中山貴仁
編集委員/文部科学省教科調査官・笠井健一、浦和大学教授・矢部一夫

本時のねらいと評価規準

(本時の位置 9/12時)

問題場面
ひし形の面積は、求め方を構成要素や性質に着目し既習の図形を基に公式を求めることができることを理解する。

評価規準
・ひし形の性質に着目し、面積の求め方を説明することができる。
・ひし形の求積公式がわかる。

問題
ひし形の面積はどのように求めるのだろう。

問題

前時までに図形の面積をどのように求めてきましたか。

図形を切って場所を変えたり、もう一つ増やしたりすることで習ったことのある図形に変形して求めました。

台形では、2つつなげると平行四辺形になるという特徴を使って求めました。図形の特徴を用いて求めました。

では、ひし形の特徴を使って、面積を求めてみましょう。
ひし形には、どんな特徴がありますか。

対角線が垂直に交わります。

周りを囲む長方形の半分の大きさになっています。

辺BDで分けると1組の合同な二等辺三角形ができます。

2本の対角線で分けると4つの合同な直角三角形ができます。

本時の学習のねらい

ひし形の特ちょうを使って、面積の求め方の公式を作ろう。

対角線で分けると1組の合同な三角形ができるか……。

ひし形は周りを囲む長方形の半分の大きさになるから……。

今までも習った形に変形していたから……。

平行四辺形としてみることもできるから……。

自力解決の様子

A
B
C
D

※方眼の数を数えている児童については、どのひし形の特ちょうを使えば今まで学習した図形の面積に結び付けられるか考えるように支援する。

学び合いの計画

それぞれの考え方を取り上げる際に、これまでのどんな方法と同じかを問うと共に、考え方の根拠をひし形の性質や既習を基に考えさせましょう。Aの考え方では、「対角線で分けると1組の合同な三角形ができる」ことから、対角線を底辺とする三角形ABDを2倍すればよいことに気付かせます。Bの考え方では三角形の求積の場合のように求めることができ、「周りを囲む長方形の半分の大きさになっている」ことから周りを囲む長方形の面積を2で割ればよいことに気付かせます。Cの考え方では2本の対角線で4つの合同な直角三角形ができることから、1つの直角三角形の面積の4倍であることに気付かせます。

また、Dの考え方は「ひし形は向かい合う2組の直線は平行である」という特徴を用いようとしたことを称賛した後、底辺と高さを求めることが困難であることに気付かせるようにしましょう。

ノート例

ノート例

全体発表とそれぞれの考えの関連付け

これらの考え方に共通することを考え、公式を作りましょう。

(図と式を比べながら)それぞれの式で使われている長さは、それぞれ2本の「対角線」の長さを使っています。

今までの図形は「辺」を使っていたよね。ひし形の面積を求める公式は「対角線」を使って表せるんじゃないかな。

Aの式は、「((横の対角線)×(たての対角線÷2)÷2)×2」だ。

Bの式は、「(たての対角線)×(横の対角線)÷2」だ。

Cの式は、「((横の対角線÷2)×(たての対角線÷2)÷2)×4」だ。

ABCの式は、どれも「(たての対角線)×(横の対角線)÷2」と変形することができます。ひし形は辺ではなく対角線を使って面積を求めるのですね。

注)式の変形については、クラスの実態によって深入りをすることなく、教師主導でまとめるようにする。

学習のねらいに正対した学習のまとめ

○ひし形の面積は、大きな長方形の半分の大きさであると考えると、一方の対角線×もう一方の対角線÷2で求めることができる。

評価問題
この「たこ型」も「一方の対角線×もう一方の対角線÷2」で求めることができます。わけを説明しましょう。

評価問題

子供に期待する解答の具体例
右図のように大きな長方形と考えたとき、対角線はそれぞれ長方形のたてと横となり、この図はその長方形の面積の半分となるから。

子供に期待する解答の具体例

感想例

  • 今までのように習った図形に変形するだけではなく、図形の特ちょうを使うと図形の面積を求めることができることが分かりました。

『教育技術 小五小六』 2020年12月号より

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