小5算数「円と正多角形」指導アイデア

特集
【文部科学省教科調査官監修】1人1台端末時代の教科指導ヒントとアイデア
小5算数「円と正多角形」指導アイデア

執筆/福岡県北九州市立若園小学校教諭・栗原省吾
監修/文部科学省教科調査官・笠井健一、福岡教育大学教授・清水紀宏

小五算数 年間指導計画

単元の展開

第1時 辺や角に着目し、正多角形の定義や性質を理解する。

第2時 正多角形の性質に基づき、円の中心の周りの角を等分して正多角形をかく方法を考える。

第3時(本時)正多角形や円の定義や性質に基づき、円を使って正六角形をかくことができる理由を考え、説明することができる。

第4時 正多角形の性質に基づき、円周と直径の関係について考える。

第5時 円の直径の長さと円周の長さの関係について考える。

第6時 円周率について知り、円周の長さや直径の長さを求める問題を解決する。

第7時 円周の長さと直径の長さの関係を、比例という観点から捉える。

第8時 本単元の学習内容の定着及び円周の長さを活用する問題を解決する。

本時のねらい

正多角形や円の定義や性質に基づき、円周を6等分することで正六角形をかくことができる理由を考え、説明することができる。

評価規準

円周を6等分する方法で正六角形をかくことができ、その方法で正六角形がかける理由を説明することができる。(知識・技能)

本時の展開



ひなたさんは、コンパスを使って、さまざまなもようづくりをしていました。図のように半径7㎝に等しく開いたコンパスで円のまわりを順に区切って印をつけたものを結ぶと、ある図形ができました。どんな図形ができたか、実際にかいて調べてみましょう。

本時では、はじめにコンパスを使って正六角形の作図を行います。

この作図の方法を発見させることが本時の主眼ではないので、六つの印をコンパスで付けていく手順は、黒板で教師が実演したり、デジタル教科書を使ったりしてクラス全体で確認したうえで、子供たちに作図をさせます。

次に、作図した図形が正六角形であることを、第1時で使用した折り紙で作った正六角形(折り紙の辺の長さ14㎝)を使って確かめます。その後、「どうしてコンパスだけで正六角形がかけるのか」という疑問をもたせ、本時のめあてを導きます。

どんな図形ができましたか。

六角形ができました。

この六角形は正六角形だと思います。

なるほど。本当に正六角形がかけたのか、前回折り紙で作った正六角形を重ねて調べてみましょう。

ぴったり重なりました。

この六角形は正六角形です。

皆さんがかいた図形は正六角形ということが分かりましたね。何か不思議に思いませんか。

コンパスでかいていたら、いつの間にか正六角形がかけて不思議です。

前の時間のように、分度器を使っていないのに正六角形がかけたのが不思議です。

これまで正多角形について学習してきたことを基にして、このかき方で正六角形がかける理由について考えていきましょう。



コンパスを使ってかいた図形が、正六角形になるわけを考えよう。

自力解決の様子

A つまずいている子

図はかけるが、これまでの学習に基づいて、理由を説明することができない。または、六つの辺の長さがすべて等しいことだけを定規やコンパスを使って確かめ、説明している。


B 素朴に解いている子

六つの辺の長さがすべて等しいことを定規やコンパスで確かめるとともに、分度器を使って六つの内角の大きさ(B1)、または、中心の角の大きさ(B2)がすべて等しいことを確かめ、説明している。


C ねらい通り解いている子

正六角形が六つの合同な正三角形でできていることに基づき、六つの辺の長さや六つの内角(または六つの中心の角)の大きさがすべて等しくなることを説明している。

ノート例

ノート例

学び合いの計画

Aの子供に対しては、正多角形の定義に基づき、正六角形がどのような六角形か確認します。そのうえで、内角の大きさが等しいことや前時の学習(中心の角)の大きさを調べることへと方向付けます。

かいた六角形が正六角形であることを示すには、定義に基づくことが基本ですが、前時の学習で中心の角がすべて等しいという正多角形の性質を見出しているので、この見方による説明も認めます。

小学校の段階では、Bの実測による確認と説明で十分ですが、本時では正六角形が六つの正三角形で構成されているという性質を筋道立てて導き、そのことからBで説明されている辺の長さや角の大きさの相等を、「実測によらずに」説明させることをねらっています。

全体での学び合いでは、まず、Aの考えを基に話し合うことで、「コンパスを使えば、等しい長さを測り取ることができること」や「等しい辺の長さの六角形がかけたこと」を実際にコンパスを使って確認しましょう。

次に、正六角形であることを確認するためには、辺の長さだけでなく角の大きさに着目する必要があることを確認します。

そして、Bの考えを基にしながら、内角や中心の角の大きさに着目していきます。まずは実測をして、定義や前時で学習した性質と合うことを確実に押さえましょう。

これらを踏まえたうえで、「定規や分度器を使わなくても、正六角形であることを説明する」というCの考えについて考えていきます。

全体発表とそれぞれの考えの関連付け

※Aの図を提示した状態で学び合いを始め、黒板またはスクリーンなどに映したAの図から考えていきます。

この図では辺の長さが調べられています。辺の長さをすべて確認した人はいますか。

長さは全部7㎝でした。

実際にコンパスを当ててみると、どの辺も同じ長さになっていました。

定規で長さを測らなくても、コンパスを当てると六つの辺がすべて同じ長さであることが分かるんですね。実際に確認しましょう。

※コンパスで確認させます。最初のコンパスの操作は正六角形の頂点を決めるための操作であるのに対して、ここでのコンパスの操作は、辺がかかれた後に、それらが等しいかどうかを確認するものです。

これで、正六角形ができたことの説明になっていますか。

それだけで正六角形がかけるとは言えないと思います。

ほかにどのようなことを確認しないといけないのでしょうか。

正六角形であるためには、辺だけなくて角の大きさが全部等しくないといけません。

ほかにもあります。前の時間で円の中心の角を同じ角度で分けていって、正多角形をかきました。中心の角が同じだったらよいと思います。

それでは、辺だけでなく角を測った人に考えを発表してもらいましょう。(前で説明させるか、タブレットで作図の写真を共有する。)

角度を分度器で測ると全部120°でした。六つの辺の長さがすべて等しく、六つの角の大きさもすべて等しいので、正六角形と言えると思います。

正多角形の条件に基づいて調べているところがとてもよかったですね。中心の角を測った人もいましたね。説明してもらいましょう。

中心から頂点に線を引くと三角形が六つできました。円の中心にある角を測ると全部60°でした。前の時間で勉強したようになっているので、正六角形と言えると思います。

中心から頂点に線を引いて三角形をつくるんですね。前の時間に学習したことを使っているところがすばらしいです。ところで、どうしてコンパスで区切るだけで辺の長さが等しくなったり、中心の周りの角が60°ずつに分けられたりするのでしょうか。

確かに、コンパスだけで正六角形がかけた理由が分からないね。

何か秘密があるんじゃないかな。

B2さんが説明してくれた図にその秘密が隠されているかもしれません。この図を見て、何か気付くことはありませんか。 

できた六つの三角形は全部正三角形になっていると思います。

六つの三角形が全部正三角形になっているという気付きを発表してくれましたが、見た目だけではなくて、本当に正三角形であることが説明できませんか。隣の友達と意見を交換してみてください。(次の図を全体に示す。同じ図を子供に配付し、考えさせてもよい。)

(意見交換後)どんな方法がありますか。

さっきと同じように、コンパスを当てて調べたらよいと思います。

なるほど。どこを調べたらよいか、前で説明できますか。(すべて指示棒で示させる。)たくさん調べないといけませんね。全部調べてもよいですが、測ったりコンパスを当てたりしないで考えた人はいますか。

(周りの辺の長さを指し、印を付けながら)半径の長さに等しくコンパスを開いて印を付けて直線を引いたので、周りの長さは全部等しいです。

ストップ。そこまではAさんの考えと同じですね。続きを説明してください。

この六つの辺の長さは半径と同じ7㎝です。だから、周りの辺の長さと半径は全部等しくなると思います。(印を付けさせながら、説明させる。)

これで、六つの三角形は全部正三角形と言えますね。

ほかにもあります。一つの三角形だけ正三角形であることが言えればよいと思います。

それではまず、この三角形(一つを色を付けるなどする)を調べてみましょう。

(半径を指しながら)この二つの辺は、円の半径でどちらも7㎝です。残りの辺も半径と等しい長さだから7㎝です。だから正三角形です。残りの三角形も同じように正三角形と言えます。

一つだけ正三角形であることが言えれば、残りの三角形も同じように正三角形と言えるという考え方がすばらしいですね。さて、(Cの図を用いて再度コンパスで区切る作業を見せながら)今まで調べたことから、このようにコンパスで区切るということは、何をかいていることになりますか。

正三角形の頂点をかいていることになります。

六つの正三角形がかけます。

だんだん秘密が分かってきました。それでは、正三角形が六つあることを使って、B2さんの六角形の六つの角を測った方法や中心の角を測った方法を説明できませんか。(必要に応じてペアや集団で考えさせてもよい。)

正三角形が六つなので、六角形の辺の長さは等しくなります。そして、角はどれも60°の二つ分で120°になるので、正六角形になります。

六つの正三角形が円の中心の周りに並んでいます。円の中心の周りの角が全部60°になっているので、正六角形になると思います。

だから、コンパスだけで正六角形がかけたのね。

半径に等しく開いたコンパスだけで正六角形ができることが言えましたね。ほかの正多角形もコンパスでかけると思いますか。

かけると思います。

実際にかいてみましょう。

六角形の印の一つ飛ばしの長さで区切ったら、正三角形がかけます。でも、何回やってもほかの正多角形はかけません。

区切っていったら、余ってうまくいきません。

なるほど、円と半径を使って簡単にかける正多角形は正六角形だけのようですね。それでは、半径に等しく開いたコンパスだけで、正六角形ができた理由をまとめられますか。

コンパスで開いた長さが半径と等しいから、正三角形が六つできます。

合同な正三角形が六つできるから、六角形の辺の長さはぜんぶ半径の長さになり、角の大きさは120°になるから、正六角形ができます。

六つの中心の角が全部60°になるから、正六角形ができます。



コンパスで正六角形がかけるのは、正三角形が六つできて、
辺の長さや角度がすべて等しくなる
中心の周りの角がすべて等しくなる
から。

評価問題

一辺が5㎝の正六角形をかきましょう。また、それが正六角形であるわけを説明しましょう。

子供に期待する解答の具体例

コンパスの長さを5㎝に開き、6㎝の場合と同様に円をかけている。また、1辺が5㎝の正三角形が六つできていることを説明している。

合同な正三角形が六つできる。
辺の長さは全部5㎝で等しい。
角度は全部60°×2=120°で同じ。
だから正六角形になる。

感想例

  • 正六角形は合同な正三角形が六つ組み合わさってできることが分かった。
  • 定規や分度器を使わなくても、コンパスで正六角形がかけることに話合いで気付くことができた。

イラスト/横井智美、やひろきよみ

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