小５算数「円と正多角形」指導アイデア《円の直径の長さと円周の長さの関係》

執筆／富山県射水市立大島小学校教諭・前田正秀
監修／文部科学省教科調査官・笠井健一
　　　前・富山県南砺市立福光東部小学校校長・中川愼一

単元の展開

第１時　辺や角に着目し、正多角形の定義や性質を理解する。
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第２時　正多角形の性質に基づき、円の中心の周りの角を等分して正多角形をかく方法を考える。
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第３時　正多角形や円の定義や性質に基づき、円を使って正六角形をかくことができる理由を考え、説明する。
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第４時　正多角形の性質に基づき、円周と直径の関係について考える。
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第５時（本時）円の直径の長さと円周の長さの関係について考える。
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第６時　円周率について知り、円周の長さや直径の長さを求める問題を解決する。
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第７時　円周の長さと直径の長さの関係を、比例という観点から捉える。
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第８時　本単元の学習内容の定着及び円周の長さを活用する問題を解決する。

本時のねらい

円の直径の長さと円周の長さの関係について考える。

評価規準

円を構成する要素である直径と円周の関係に着目し、比例の関係にあることについて筋道を立てて考えている。（思考・判断・表現）

本時の展開

円を１回転させると、どこまで進むでしょう。

円盤を転がして考える

厚紙や段ボールで作った円形の盤を転がして、一回転で進む長さを予想します。

最初は、当てずっぽうで予想するしかありませんが、さまざまな大きさの円を転がすうちに、子供たちから「さっきの円より大きいから、ここくらいかな」などの声が聞こえ始めることでしょう。予想に根拠が生まれてくるのです。

子供たちは、生活経験から、円の大きさが大きいほど円周が長くなることは知っています。子供たちのつぶやきを取り上げながら、そうした生活経験を、「直径と円周は比例する」という算数の知識へと導いていきます。

大きさの異なる円盤を転がして考える

いくつもの円盤の結果について考える

いくつもの円を転がしていくと、次のような図ができてきます。直径の頂点を直線で結ぶと、比例のグラフのようになります。子供たちに、これを見て気付いたことを尋ねます。

このように、円の大きさ（直径）と１回転で進む長さ（円周）には、比例の関係があることを確かめたうえで、「円周は直径の何倍でしょう」と子供たちに尋ねます。

見た目から、大体３倍くらいだということは予想がつくことでしょう。答えの見通しがもてたところで、実際に円周が直径の何倍なのかを調べていきます。

円周と直径の関係を調べよう。　　　　　　　　　　　

見通し

• 直径が大きくなればなるほど、円周も大きくなる。
• 直径が２倍、３倍、４倍……になれば、円周も２倍、３倍、４倍……になる。
• 直径と円周は比例していると言えそう。
• どんな大きさの円も、円周の長さは直径の長さの大体３倍。

自力解決の様子

自力解決の前に、直径の測り方や円周の測り方をしっかりと確認しておきましょう。うまく測定できない子供には、「円周を測る巻き尺がねじれている」「直径を測る際に円を垂直に挟めていない」などのつまずきが予想されます。机間指導しながら、声をかけていくとよいでしょう。

A　つまずいている子
・円周が直径の約３倍になっていることを予想している。
円周を測る巻き尺がねじれている、直径を測る際に垂直に挟めていないなどして、測定がうまくいかない。

Ｂ　素朴に解いている子
・円周が直径の約３倍になっていることを確認している。
特定の円について調べ、結論を導き出している。

Ｃ　ねらい通り解いている子
・どんな大きさの円でも円周が直径の３倍より少し大きい割合になっていることを確認し、さらに詳しい数値を調べようとしている。
さまざまな大きさの円を試して、結論を導き出している。

学び合いの計画

学び合いでは、それぞれが調べた結果には誤差が含まれていることを確かめ、誤差の補正を考え合いながら、どんな円でも円周は直径の約3.14倍になっていることを導いていきます。その際、結果だけでなく、結果から感じた思いも尋ねるとよいでしょう。

円周率には、アルキメデスを始め、数多くの数学者たちを魅了してきたロマンがあります。子供たちにも、知識を習得するだけでなく、そうした算数の楽しさを感じてもらえることが期待されます。

ノート例

Ａ　つまずいている子

Ｂ　素朴に解いている子

全体発表とそれぞれの考えの関連付け

全体発表では、それぞれが調べた結果を報告し合います。そして、どんな円でも、円周は直径の約3.14倍になっていることを確認していきます。

※数値を黒板に並べます。表に示したり数直線に表したりすることも効果的です。余裕があれば取り組んでみるとよいでしょう。

学習のまとめ

直径と円周の関係
・直径が大きくなればなるほど、円周も大きくなる。
・直径が２倍、３倍、４倍……になれば、円周も２倍、３倍、４倍……になる。
　　
直径と円周は比例している

直径と円周の割合
・円周と直径の割合は、どれも同じ。（いつも同じ）
・どんな大きさの円も、円周の長さは直径の長さのだいたい３倍。
　　
円周は直径の約3.14倍

評価問題

地球の周りの長さは４万㎞です。円周と直径の割合が3.14ということを使えば、地球の直径を求められないか、考えてみましょう。

※１ｍの長さは、北極から赤道までの長さの１／1000万として決められています。このため、地球の周りの長さは、4000万ｍ（４万㎞）ときちんとした数になります。

子供に期待する解答の具体例

・地球を円と見たら、求めることができる。
・円周が４万㎞で、直径が□㎞と置いて考える。
・□×3.14＝40000
　□＝40000÷3.14
　□＝12738.8…
・地球の直径は、約1万３千㎞

本時の評価規準を達成した子供の具体の姿

地球の断面を円と見て、直径と円周が比例の関係にあることを基にして、地球の直径の長さを、筋道を立てて考えている。

感想例

• 円周と直径の間に比例の関係があることに気付くことができました。
• どの円でも円周が直径の3.14倍になっていて、びっくりしました。
• 円というのは美しくて不思議な形なんだなと、あらためて思いました。
• 円の秘密をもっと調べてみたいです。
• 3.14よりもっと詳しい数を調べてみたいです。
• 円周と直径の関係を比例の関係とみると、バラバラのいくつもの円を１つにつなげて考えることができました。見方を変えると、考えが深まるんだなと思いました。

ワークシート（ダウンロード可）

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板書例

コラム

納得したい子供たちの願いに応える
子供たちは3.14という数について、いろいろな思いを抱きます。なかには、｢もっと詳しく知りたい」「本当にいつでもそうなるのだろうか」などと、納得し切れない思いをもつ子もいます。
そんな子供に対して、次のような活動に取り組ませてみましょう。

＜グラウンドにかいた大きな円を測定する活動＞
円が大きくなるほど、3.14に近い数値に期待できます。円のかきやすさ、計算のしやすさから、10ｍ（半径５ｍ）が望ましいでしょう。
①グラウンドに円をかく
●中心を決めて、細い棒を立てます。
●巻尺で半径５ｍを測り、円周の位置を決めます。
●中心と円周の間（半径）にロープを張ります。
●ロープに輪をつくり、中心の棒にかけます。
●ロープの円周側にも同じように輪をつくり、細い棒を通します。
●中心の棒が動かないように押さえて、ロープをぴんと張りながら円周の棒を動かしていきます。

②円周の長さを測定する
●ウォーキングメジャーを使って円周の長さを測ります。

③計算する
●測定した円周の長さを直径の10で割って、直径と円周の割合を求めます。

イラスト／横井智美、やひろきよみ