小５算数「面積」指導アイデア《高さが三角形の外にある場合の三角形の面積の求め方》

執筆／富山県高岡市立五位小学校教諭・吉田陽
監修／文部科学省教科調査官・笠井健一
　　　前・富山県南砺市立福光東部小学校校長・中川愼一

単元の展開

第１時　平行四辺形の面積の求め方を考え、説明することができる。
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第２時　平行四辺形の面積の公式をつくり出し、それを適用して面積を求めることができる。
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第３時　高さが平行四辺形の外にある場合でも、平行四辺形の面積の公式を適用できることを理解する。
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第４時　三角形の面積の求め方を考え、説明することができる。
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第５時　三角形の面積の公式をつくり出し、それを適用して面積を求めることができる。
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第６時（本時）高さが三角形の外にある場合でも、三角形の面積の公式を適用できることを理解する。
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第７時　台形の面積の求め方を考え、説明することができる。
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第８時　台形の面積の公式をつくり出し、それを適用して面積を求めることができる。
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第９時　ひし形の面積の求め方を考え、説明することができる。また、ひし形の面積の公式をつくり出し、それを適用して面積を求めることができる。
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第10時　 学習の定着を確認する。

本時のねらい

三角形の面積の公式が使える範囲を、高さが三角形の内にある場合から外にある場合へと広げて考える。
※高さが外にある場合とは、頂点から下ろした垂線の交点が底辺上にない場合のこと

評価規準

三角形の底辺と高さの関係に着目して、高さが三角形の外にある場合であっても三角形の面積の公式を用いることができることについて考えている。（思考・判断・表現）

本時の展開

次の三角形の面積を求めましょう。

※方眼の目盛りは１㎝

高さが図形の内にないときの、三角形の面積の求め方を考えよう。

見通し

自力解決の様子

A　つまずいている子
・同じ三角形を２つ組み合わせて平行四辺形をつくり、平行四辺形の公式を基に考えようとしている。
・図形の外にある高さについて、中にある高さと同等であると捉えていない。

Ｂ　素朴に解いている子
・点Ａから辺ＢＣを延長した直線に垂線を引いて点Ｄをつくり、｢三角形ＡＢＤ－三角形ＡＣＤ」を考えて、三角形ＡＢＣの面積を求めている。
・図形の外にある高さを中にある高さと同等であると捉え、三角形の面積を求める公式を使って求めようとしている。

Ｃ　ねらい通り解いている子
・平行な直線の幅はどこも等しいことに着目し、三角形の高さは図形の外にある場合と中にある場合を同等と捉え、高さを図形の外にとっても、公式を使って面積を求められることを理解している。

学び合いの計画

本時は、前時で学習した三角形の「高さ」について、図形の中にあるはずの高さから、図形の外にも高さがあるという見方を広げる場面です。

つまり、三角形の高さを「底辺を伸ばした直線と、底辺と向かい合った頂点を通り、底辺に平行な直線の幅」と捉えることがポイントとなります。

高さが図形の外にあるという捉え方は、前々時に平行四辺形の高さについて考える場面でも行っているため、平行四辺形の高さについてふり返り、学び直すこともできます。

本時では、２つの同じ三角形を組み合わせて平行四辺形をつくり、図形の中に高さをつくろうとする考えに留まらず、平行線の性質に着目し、高さを表す垂線が三角形の高さになる（高さが中にあっても外にあってもよい）ことにまで気付かせることが大切です。

そのため、子供の話合いの場では、図形を示しながら説明させていきます。

その話合いを通して、平行四辺形をつくり、三角形の面積を求めた子供が、「面積を求めるために使った高さは、図形の外にある高さと同じである」ことに気付くよう、子供どうしが積極的に関われるようにします。教師はファシリテーターの立場で臨むとよいでしょう。

ノート例

Ａ　つまずいている子

Ｂ　素朴に解いている子

全体発表とそれぞれの考えの関連付け

イラスト／横井智美